12-c3-b9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị-LT

Bài học Toán THPT - Khoảng Biến Thiên Và Khoảng Tứ Phân Vị

1. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm gồm \(k\) nhóm dạng \([a_1; a_2), [a_2; a_3), \dots, [a_k; a_{k+1})\).

📌 Định nghĩa Khoảng biến thiên (\(R\)):

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu là \(R\), là hiệu số giữa đầu mút phái của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên:

\[ R = a_{k+1} - a_1 \]

Ý nghĩa & Ưu nhược điểm của Khoảng biến thiên:

Ý nghĩa: Đo mức độ độ rộng phạm vi biến thiên của toàn bộ mẫu số liệu. \(R\) càng lớn thì độ phân tán chung của số liệu càng lớn.
Ưu điểm: Dễ tính toán, mang lại cái nhìn nhanh về độ phủ dữ liệu.
Nhược điểm: Phụ thuộc hoàn toàn vào 2 giá trị biên (\(a_1\) và \(a_{k+1}\)) nên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường (giá trị ngoại lệ).

💡 Ví dụ nhanh: Mẫu số liệu có các nhóm từ \([10; 20)\) đến \([50; 60)\) thì khoảng biến thiên \(R = 60 - 10 = 50\).

2. Ôn tập & Công thức tính Tứ phân vị ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm có tổng kích thước mẫu là \(n\). Tứ phân vị thứ \(p\) (\(p \in \{1, 2, 3\}\)) ký hiệu là \(Q_p\).

📌 Công thức xác định Tứ phân vị \(Q_p\) (\(p = 1, 2, 3\)):

Giả sử nhóm \([a_m; a_{m+1})\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy \(cf_m \ge \displaystyle\frac{p \cdot n}{4}\):

\[ Q_p = a_m + \left( \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{p \cdot n}{4} - cf_{m-1}}{n_m} \right) \cdot (a_{m+1} - a_m) \]

Trong đó:

\(a_m, a_{m+1}\) là đầu mút trái và phải của nhóm chứa \(Q_p\).
\(n_m\) là tần số của nhóm chứa \(Q_p\).
\(cf_{m-1}\) là tần số tích lũy của nhóm ngay trước nhóm chứa \(Q_p\) (với \(cf_0 = 0\)).

🚀 Phân biệt vai trò:

\(Q_2\): Chính là Trung vị (Median), chia dữ liệu làm 2 phần bằng nhau (50% - 50%).
\(Q_1\): Tứ phân vị thứ nhất (Trung vị nửa dưới, chiếm 25% dữ liệu nhỏ hơn).
\(Q_3\): Tứ phân vị thứ ba (Trung vị nửa trên, có 75% dữ liệu nhỏ hơn).

3. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

📌 Định nghĩa Khoảng tứ phân vị (\(\Delta_Q\)):

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu là \(\Delta_Q\), là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) và tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\):

\[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 \]

Ý nghĩa & Ưu điểm vượt trội của Khoảng tứ phân vị:

Ý nghĩa: Đo độ phân tán của 50% số liệu chính giữa của mẫu. \(\Delta_Q\) càng lớn thì nửa dữ liệu trung tâm càng bị phân tán rộng.
Ưu điểm lớn nhất: Không bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ (giá trị ngoại lệ), do đã loại bỏ 25% số liệu nhỏ nhất và 25% số liệu lớn nhất ở hai biên.

Số đặc trưng	Độ phụ thuộc giá trị biên	Mục đích đo lường chính
Khoảng biến thiên (\(R\))	Ảnh hưởng rất mạnh (Rất nhạy)	Đo độ rộng của toàn bộ mẫu số liệu
Khoảng tứ phân vị (\(\Delta_Q\))	Không bị ảnh hưởng (Bền vững)	Đo độ phân tán của 50% dữ liệu trung tâm

4. Phát hiện Giá trị ngoại lệ (Outliers)

Giá trị ngoại lệ (hay giá trị bất thường) là các số liệu có giá trị quá khác biệt (quá lớn hoặc quá nhỏ) so với phần lớn các số liệu còn lại trong mẫu.

📌 Tiêu chuẩn kiểm tra Giá trị ngoại lệ theo Tứ phân vị:

Một giá trị \(x\) trong mẫu số liệu được coi là giá trị ngoại lệ nếu nó nằm ngoài khoảng \([L; U]\), tức là:

\[ x < Q_1 - 1,5 \cdot \Delta_Q \quad \text{hoặc} \quad x > Q_3 + 1,5 \cdot \Delta_Q \]

Trong đó:

Rào chắn dưới: \(L = Q_1 - 1,5 \cdot \Delta_Q\)
Rào chắn trên: \(U = Q_3 + 1,5 \cdot \Delta_Q\)

⚠️ Ứng dụng thực tế: Quy tắc này dùng để lọc dữ liệu nhiễu trong xử lý dữ liệu lớn (Big Data), phát hiện gian lận tài chính hoặc loại bỏ sai số đo đạc trong các thí nghiệm khoa học.

5. Ví dụ minh họa chi tiết (Sách KNTT)

Ví dụ 1 Tính khoảng biến thiên & khoảng tứ phân vị thời gian sử dụng điện thoại

Thống kê thời gian truy cập Internet mỗi ngày (đơn vị: phút) của 40 học sinh thu được bảng ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	\([30; 60)\)	\([60; 90)\)	\([90; 120)\)	\([120; 150)\)	\([150; 180)\)
Số học sinh (\(n_i\))	5	12	14	6	3

a) Tính khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm.

b) Tính khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) và nêu ý nghĩa.

Lời giải:

a) Khoảng biến thiên:

\[ R = a_6 - a_1 = 180 - 30 = 150 \text{ (phút)} \]

b) Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\):

- Cỡ mẫu \(n = 40\). Tần số tích lũy tương ứng các nhóm lần lượt là: \(cf_1 = 5\), \(cf_2 = 17\), \(cf_3 = 31\), \(cf_4 = 37\), \(cf_5 = 40\).

* Tính \(Q_1\):

Ta có \(\displaystyle\frac{n}{4} = \displaystyle\frac{40}{4} = 10\). Do \(cf_1 = 5 < 10 \le cf_2 = 17\) nên nhóm chứa \(Q_1\) là nhóm \([60; 90)\).

Áp dụng công thức:

\[ Q_1 = 60 + \left( \displaystyle\frac{10 - 5}{12} \right) \cdot (90 - 60) = 60 + \displaystyle\frac{5}{12} \cdot 30 = 60 + 12,5 = 72,5 \text{ (phút)} \]

* Tính \(Q_3\):

Ta có \(\displaystyle\frac{3n}{4} = \displaystyle\frac{3 \cdot 40}{4} = 30\). Do \(cf_2 = 17 < 30 \le cf_3 = 31\) nên nhóm chứa \(Q_3\) là nhóm \([90; 120)\).

Áp dụng công thức:

\[ Q_3 = 90 + \left( \displaystyle\frac{30 - 17}{14} \right) \cdot (120 - 90) = 90 + \displaystyle\frac{13}{14} \cdot 30 \approx 90 + 27,86 = 117,86 \text{ (phút)} \]

* Khoảng tứ phân vị:

\[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 117,86 - 72,5 = 45,36 \text{ (phút)} \]

Ý nghĩa: 50% số học sinh có thời gian sử dụng Internet ở mức trung bình dao động trong phạm vi chênh lệch khoảng \(45,36\) phút.

6. Bảng tổng kết công thức & Bài tập tự luyện

Số đặc trưng	Công thức	Ưu / Nhược điểm chính
Khoảng biến thiên (\(R\))	\(R = a_{k+1} - a_1\)	Dễ tính; Dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ.
Tứ phân vị (\(Q_p\))	\(Q_p = a_m + \left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{p \cdot n}{4} - cf_{m-1}}{n_m}\right)(a_{m+1}-a_m)\)	Chia mẫu số liệu thành 4 phần bằng nhau.
Khoảng tứ phân vị (\(\Delta_Q\))	\(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\)	Đo độ phân tán 50% dữ liệu giữa; Không ngại số liệu bất thường.
Rào chắn giá trị ngoại lệ	\([Q_1 - 1,5\Delta_Q; \; Q_3 + 1,5\Delta_Q]\)	Lọc và phát hiện các số liệu bất thường trong mẫu.

📝 Bài tập tự luyện:

Bài 1: Khảo sát số tiền (đơn vị: nghìn đồng) chi tiêu trong ngày của 50 sinh viên cho kết quả:

Số tiền (nghìn đồng)	\([20; 40)\)	\([40; 60)\)	\([60; 80)\)	\([80; 100)\)	\([100; 120)\)
Số sinh viên	6	14	18	8	4