GIẢI BÀI TẬP BÀI 9: KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)

a) Ghép nhóm mẫu số liệu:

Giá trị nhỏ nhất là \(42\) và lớn nhất là \(101\). Các nhóm có độ dài bằng \(10\), nhóm đầu tiên là \([40; 50)\). Do đó, các nhóm tiếp theo là \([50; 60)\), \([60; 70)\), \([70; 80)\), \([80; 90)\), \([90; 100)\), \([100; 110)\).

Bảng tần số ghép nhóm:

b) Tính toán và so sánh:

1. Đối với mẫu số liệu gốc:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm (\(n = 20\)):
42, 47, 50, 55, 55, 57, 59, 60, 61, 63, 63, 67, 67, 68, 73, 75, 78, 79, 79, 101.

• Khoảng biến thiên gốc: \(R = x_{\max} - x_{\min} = 101 - 42 = 59\).
• Khoảng tứ phân vị gốc:
  - Trung vị \(Q_2 = \frac{x_{10} + x_{11}}{2} = \frac{63 + 63}{2} = 63\).
  - Nửa dưới (10 số đầu): \(Q_1 = \frac{x_5 + x_6}{2} = \frac{55 + 57}{2} = 56\).
  - Nửa trên (10 số sau): \(Q_3 = \frac{x_{15} + x_{16}}{2} = \frac{73 + 75}{2} = 74\).
  - Khoảng tứ phân vị gốc: \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 74 - 56 = 18\).

2. Đối với mẫu số liệu ghép nhóm:

• Khoảng biến thiên ghép nhóm: \(R' = 110 - 40 = 70\).
• Khoảng tứ phân vị ghép nhóm:
  - Cỡ mẫu \(n = 20\).
  - Nhóm chứa \(Q_1\) là \([50; 60)\) (do tần số tích lũy là \(2 + 5 = 7 \ge 5\)).
  \(Q_1' = 50 + \frac{\frac{20}{4} - 2}{5} \cdot (60 - 50) = 50 + \frac{3}{5} \cdot 10 = 56\).
  - Nhóm chứa \(Q_3\) là \([70; 80)\) (do tần số tích lũy đến nhóm \([60; 70)\) là \(13 < 15\) và đến nhóm \([70; 80)\) là \(19 \ge 15\)).
  \(Q_3' = 70 + \frac{\frac{3 \cdot 20}{4} - 13}{6} \cdot (80 - 70) = 70 + \frac{2}{6} \cdot 10 = 70 + \frac{10}{3} \approx 73,33\).
  - Khoảng tứ phân vị ghép nhóm: \(\Delta_Q' = Q_3' - Q_1' = 73,33 - 56 = 17,33\).

Nhận xét:

• Giá trị tính từ mẫu số liệu gốc (\(R = 59\), \(\Delta_Q = 18\)) là các giá trị chính xác.
• Giá trị tính từ mẫu số liệu ghép nhóm (\(R' = 70\), \(\Delta_Q' \approx 17,33\)) là các giá trị xấp xỉ.

Giá trị đại diện cho các nhóm thu nhập là:

• \([5; 8)\): \(\frac{5 + 8}{2} = 6,5\)
• \([8; 11)\): \(\frac{8 + 11}{2} = 9,5\)
• \([11; 14)\): \(\frac{11 + 14}{2} = 12,5\)
• \([14; 17)\): \(\frac{14 + 17}{2} = 15,5\)
• \([17; 20)\): \(\frac{17 + 20}{2} = 18,5\)

1. Tính thu nhập trung bình:

• Nhà máy A: Cỡ mẫu \(n_A = 20 + 35 + 45 + 35 + 20 = 155\).
  \(\bar{x}_A = \frac{20 \cdot 6,5 + 35 \cdot 9,5 + 45 \cdot 12,5 + 35 \cdot 15,5 + 20 \cdot 18,5}{155} = \frac{130 + 332,5 + 562,5 + 542,5 + 370}{155} = \frac{1937,5}{155} = 12,5\) (triệu đồng).
• Nhà máy B: Cỡ mẫu \(n_B = 17 + 23 + 30 + 23 + 17 = 110\).
  \(\bar{x}_B = \frac{17 \cdot 6,5 + 23 \cdot 9,5 + 30 \cdot 12,5 + 23 \cdot 15,5 + 17 \cdot 18,5}{110} = \frac{110,5 + 218,5 + 375 + 356,5 + 314,5}{110} = \frac{1375}{110} = 12,5\) (triệu đồng).

Mức thu nhập trung bình của người lao động ở cả hai nhà máy là bằng nhau (\(12,5\) triệu đồng).

2. Tính khoảng tứ phân vị:

Đối với Nhà máy A (\(n_A = 155\)):

• \(\frac{n_A}{4} = 38,75\). Nhóm chứa \(Q_1\) là \([8; 11)\).
  \(Q_{1A} = 8 + \frac{38,75 - 20}{35} \cdot (11 - 8) = 8 + \frac{18,75}{35} \cdot 3 \approx 9,61\).
• \(\frac{3n_A}{4} = 116,25\). Nhóm chứa \(Q_3\) là \([14; 17)\).
  \(Q_{3A} = 14 + \frac{116,25 - 100}{35} \cdot (17 - 14) = 14 + \frac{16,25}{35} \cdot 3 \approx 15,39\).
• Khoảng tứ phân vị nhà máy A: \(\Delta_{QA} = Q_{3A} - Q_{1A} = 15,39 - 9,61 = 5,78\).

Đối với Nhà máy B (\(n_B = 110\)):

• \(\frac{n_B}{4} = 27,5\). Nhóm chứa \(Q_1\) là \([8; 11)\).
  \(Q_{1B} = 8 + \frac{27,5 - 17}{23} \cdot (11 - 8) = 8 + \frac{10,5}{23} \cdot 3 \approx 9,37\).
• \(\frac{3n_B}{4} = 82,5\). Nhóm chứa \(Q_3\) là \([14; 17)\).
  \(Q_{3B} = 14 + \frac{82,5 - 70}{23} \cdot (17 - 14) = 14 + \frac{12,5}{23} \cdot 3 \approx 15,63\).
• Khoảng tứ phân vị nhà máy B: \(\Delta_{QB} = Q_{3B} - Q_{1B} = 15,63 - 9,37 = 6,26\).

Kết luận:

Vì \(\Delta_{QB} = 6,26 > \Delta_{QA} = 5,78\), nên mức thu nhập của người lao động ở nhà máy B biến động nhiều hơn nhà máy A.

a) Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị:

1. Xét Lớp 12A:

• Cỡ mẫu \(n_A = 1 + 0 + 15 + 12 + 10 + 5 = 43\).
• Khoảng biến thiên: \(R_A = 175 - 145 = 30\text{ (cm)}\).
• Tứ phân vị:
  - \(\frac{n_A}{4} = 10,75\). Nhóm chứa \(Q_1\) là \([155; 160)\).
  \(Q_{1A} = 155 + \frac{10,75 - 1}{15} \cdot (160 - 155) = 155 + \frac{9,75}{15} \cdot 5 = 158,25\).
  - \(\frac{3n_A}{4} = 32,25\). Nhóm chứa \(Q_3\) là \([165; 170)\).
  \(Q_{3A} = 165 + \frac{32,25 - 28}{10} \cdot (170 - 165) = 165 + \frac{4,25}{10} \cdot 5 = 167,125\).
  - Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_{QA} = Q_{3A} - Q_{1A} = 167,125 - 158,25 = 8,875\text{ (cm)}\).

2. Xét Lớp 12B:

• Cỡ mẫu \(n_B = 0 + 0 + 17 + 10 + 9 + 6 = 42\).
• Khoảng biến thiên: Các nhóm thực tế có học sinh là từ \([155; 160)\) đến \([170; 175)\).
  \(R_B = 175 - 155 = 20\text{ (cm)}\).
• Tứ phân vị:
  - \(\frac{n_B}{4} = 10,5\). Nhóm chứa \(Q_1\) là \([155; 160)\).
  \(Q_{1B} = 155 + \frac{10,5 - 0}{17} \cdot (160 - 155) = 155 + \frac{10,5}{17} \cdot 5 \approx 158,09\).
  - \(\frac{3n_B}{4} = 31,5\). Nhóm chứa \(Q_3\) là \([165; 170)\).
  \(Q_{3B} = 165 + \frac{31,5 - 27}{9} \cdot (170 - 165) = 165 + \frac{4,5}{9} \cdot 5 = 167,5\).
  - Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_{QB} = Q_{3B} - Q_{1B} = 167,5 - 158,09 = 9,41\text{ (cm)}\).

b) Lựa chọn đại lượng so sánh:

Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp, ta nên dùng khoảng tứ phân vị.

Lý do: Quan sát số liệu lớp 12A có một giá trị ngoại lệ (1 học sinh thuộc nhóm \([145; 150)\), trong khi các học sinh còn lại đều cao từ \(155\text{ cm}\) trở lên). Khoảng biến thiên chịu ảnh hưởng rất lớn bởi giá trị bất thường (ngoại lệ) này, làm khoảng biến thiên của lớp 12A (\(30\text{ cm}\)) tăng lên đáng kể so với lớp 12B (\(20\text{ cm}\)). Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ nên sẽ phản ánh chính xác hơn độ phân tán của phần lớn số liệu trung tâm.