Câu 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm với phương sai là \(s^2\). Công thức tính độ lệch chuẩn \(s\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:
Giải thích: Theo định nghĩa, độ lệch chuẩn \(s\) là căn bậc hai đại số của phương sai \(s^2\), nghĩa là \(s = \sqrt{s^2}\).
Câu 2. Ý nghĩa chính của phương sai và độ lệch chuẩn trong thống kê là dùng để đo đại lượng nào của mẫu số liệu?
Giải thích: Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ chênh lệch của các giá trị trong mẫu số liệu so với số trung bình, tức là đo độ biến động (độ phân tán) của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình.
Câu 3. Trong mẫu số liệu ghép nhóm, đại diện cho nhóm số liệu \([a_i; a_{i+1})\) khi tính số trung bình và phương sai là:
Giải thích: Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, mỗi nhóm \([a_i; a_{i+1})\) được thay thế bằng giá trị đại diện là trung điểm của nhóm: \(x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}\).
Câu 4. Cho mẫu số liệu ghép nhóm với giá trị đại diện các nhóm là \(x_1, x_2, \dots, x_k\), tần số tương ứng là \(n_1, n_2, \dots, n_k\), cỡ mẫu \(n = \sum n_i\) và số trung bình là \(\bar{x}\). Công thức tính phương sai \(s^2\) là:
Giải thích: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng trung bình cộng có trọng số của các bình phương độ lệch giữa giá trị đại diện \(x_i\) và số trung bình \(\bar{x}\): \(s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i(x_i - \bar{x})^2\).
Câu 5. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian hoàn thành công việc (phút) của 10 công nhân:
| Thời gian (phút) | [10; 20) | [20; 30) |
|---|
| Số công nhân | 4 | 6 |
|---|
Số trung bình \(\bar{x}\) của mẫu số liệu trên bằng:
Giải thích:
Giá trị đại diện các nhóm: \(x_1 = 15\), \(x_2 = 25\).
Cỡ mẫu \(n = 4 + 6 = 10\).
\(\bar{x} = \frac{4 \cdot 15 + 6 \cdot 25}{10} = \frac{60 + 150}{10} = 21\).
Câu 6. Tiếp tục với mẫu số liệu ghép nhóm ở Câu 5 (số trung bình \(\bar{x} = 21\)), phương sai \(s^2\) của mẫu số liệu đó bằng:
Giải thích:
Độ lệch so với trung bình: \((x_1 - \bar{x})^2 = (15 - 21)^2 = 36\); \((x_2 - \bar{x})^2 = (25 - 21)^2 = 16\).
\(s^2 = \frac{4 \cdot 36 + 6 \cdot 16}{10} = \frac{144 + 96}{10} = \frac{240}{10} = 24\).
Câu 7 Thực tế. Một nhà đầu tư theo dõi mức tăng trưởng hàng tháng (%) của hai quỹ đầu tư A và B trong 20 tháng, thu được kết quả ghép nhóm với số trung bình bằng nhau (\(\bar{x}_A = \bar{x}_B = 8\%\)). Độ lệch chuẩn mức tăng trưởng của quỹ A là \(s_A = 1{,}5\%\) và của quỹ B là \(s_B = 3{,}8\%\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Giải thích: Độ lệch chuẩn đo mức độ biến động (rủi ro). Quỹ A có \(s_A = 1{,}5\%\) nhỏ hơn \(s_B = 3{,}8\%\) của quỹ B, chứng tỏ mức tăng trưởng của quỹ A ít biến động hơn (ổn định hơn), còn quỹ B biến động mạnh hơn (rủi ro cao hơn).
Câu 8. Cho bảng số liệu ghép nhóm về khối lượng (gam) của 20 quả cam:
| Khối lượng (g) | [100; 110) | [110; 120) | [120; 130) |
|---|
| Số quả cam | 5 | 10 | 5 |
|---|
Độ lệch chuẩn \(s\) của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm) bằng:
Giải thích:
Đại diện nhóm: \(x_1 = 105, x_2 = 115, x_3 = 125\).
\(\bar{x} = \frac{5 \cdot 105 + 10 \cdot 115 + 5 \cdot 125}{20} = \frac{525 + 1150 + 625}{20} = 115\).
\(s^2 = \frac{5(105 - 115)^2 + 10(115 - 115)^2 + 5(125 - 115)^2}{20} = \frac{5 \cdot 100 + 0 + 5 \cdot 100}{20} = \frac{1000}{20} = 50\).
Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt{50} \approx 7{,}07\).
Câu 9. Khẳng định nào sau đây **đúng** khi so sánh giữa phương sai \(s^2\) và độ lệch chuẩn \(s\)?
Giải thích: Phương sai có đơn vị đo là bình phương đơn vị đo số liệu gốc (ví dụ: \(\text{cm}^2\)). Khi lấy căn bậc hai để được độ lệch chuẩn, đơn vị quay trở về trùng với đơn vị gốc (ví dụ: \(\text{cm}\)), giúp việc đối sánh thực tế dễ dàng hơn.
Câu 10. Cho mẫu số liệu ghép nhóm có phương sai \(s^2 = 0\). Kết luận nào sau đây là chính xác nhất?
Giải thích: Phương sai \(s^2 = \frac{1}{n}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2 = 0 \Leftrightarrow x_i = \bar{x}\) với mọi \(i\). Nghĩa là dữ liệu không hề có độ phân tán, đại diện tất cả các nhóm đều trùng với giá trị trung bình.