📊 BÀI HỌC TOÁN 12: PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN CỦA MẪU SỐ LIỆU GHẾP NHÓM
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương III)
1. Khái niệm & Ý nghĩa của Phương sai và Độ lệch chuẩn
Trong thống kê, số trung bình \(\bar{x}\) phản ánh mức độ trung tâm của mẫu số liệu, nhưng không cho biết mức độ phân tán của các số liệu xung quanh giá trị trung bình đó.
- Phương sai và độ lệch chuẩn là các số đặc trưng đo mức độ độ phân tán (độ biến động/độ rủi ro) của số liệu xung quanh số trung bình.
- Phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) càng lớn: Mẫu số liệu càng phân tán rộng (độ biến động cao, thiếu ổn định).
- Phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) càng nhỏ: Mẫu số liệu càng tập trung quanh số trung bình (độ ổn định cao, độ đồng đều tốt).
2. Công thức tính Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm
Giả sử mẫu số liệu kích thước \(n\) được cho dưới dạng bảng ghép nhóm gồm \(k\) nhóm:
| Nhóm giá trị | \([a_1; a_2)\) | \([a_2; a_3)\) | \(\dots\) | \([a_k; a_{k+1})\) |
|---|---|---|---|---|
| Tần số (\(n_i\)) | \(n_1\) | \(n_2\) | \(\dots\) | \(n_k\) |
| Giá trị đại diện (\(x_i\)) | \(x_1 = \displaystyle\frac{a_1+a_2}{2}\) | \(x_2 = \displaystyle\frac{a_2+a_3}{2}\) | \(\dots\) | \(x_k = \displaystyle\frac{a_k+a_{k+1}}{2}\) |
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu là \(s^2\), được tính bằng công thức:
\[ s^2 = \displaystyle\frac{1}{n} \left[ n_1(x_1 - \bar{x})^2 + n_2(x_2 - \bar{x})^2 + \dots + n_k(x_k - \bar{x})^2 \right] \]Trong đó:
- \(n = n_1 + n_2 + \dots + n_k\) là cỡ mẫu.
- \(x_i = \displaystyle\frac{a_i + a_{i+1}}{2}\) là giá trị đại diện của nhóm thứ \(i\).
- \(\bar{x} = \displaystyle\frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
3. Công thức Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là căn bậc hai đại số của phương sai:
\[ s = \sqrt{s^2} \]Công thức triển khai đầy đủ:
\[ s = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2} \]- Độ lệch chuẩn luôn là một số không âm (\(s \ge 0\)).
- \(s = 0\) khi và chỉ khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu đều bằng nhau.
4. Quy trình giải toán tính Phương sai & Độ lệch chuẩn
Để tính phương sai và độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu ghép nhóm mà không bị nhầm lẫn, hãy thực hiện theo 4 bước chuẩn sau:
Step 1: Tính giá trị đại diện \(x_i = \displaystyle\frac{a_i + a_{i+1}}{2}\) cho mỗi nhóm \([a_i; a_{i+1})\).
Step 2: Tính tổng kích thước mẫu \(n = \sum n_i\) và số trung bình \(\bar{x} = \displaystyle\frac{\sum n_i x_i}{n}\).
Step 3: Tính phương sai \(s^2\) bằng công thức: \(s^2 = \displaystyle\frac{1}{n} \sum n_i x_i^2 - \bar{x}^2\).
Step 4: Rút căn bậc hai để tìm độ lệch chuẩn \(s = \sqrt{s^2}\) và rút ra nhận xét/so sánh (nếu có yêu cầu).
5. Ví dụ minh họa chi tiết (Sách KNTT)
Khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của hai giống lúa A và B tại một số thửa ruộng có cùng diện tích thu được bảng số liệu ghép nhóm sau:
| Năng suất (tấn/ha) | \([5,5; 6,0)\) | \([6,0; 6,5)\) | \([6,5; 7,0)\) | \([7,0; 7,5)\) | \([7,5; 8,0)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Giống lúa A (số thửa) | 3 | 7 | 10 | 6 | 4 |
| Giống lúa B (số thửa) | 1 | 5 | 15 | 7 | 2 |
Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của năng suất giống lúa A và B, từ đó đánh giá giống lúa nào có năng suất ổn định hơn.
1. Xác định giá trị đại diện \(x_i\) cho từng nhóm:
- \([5,5; 6,0) \rightarrow x_1 = 5,75\)
- \([6,0; 6,5) \rightarrow x_2 = 6,25\)
- \([6,5; 7,0) \rightarrow x_3 = 6,75\)
- \([7,0; 7,5) \rightarrow x_4 = 7,25\)
- \([7,5; 8,0) \rightarrow x_5 = 7,75\)
2. Đối với Giống lúa A:
- Cỡ mẫu: \(n_A = 3 + 7 + 10 + 6 + 4 = 30\).
- Số trung bình:
\[ \bar{x}_A = \displaystyle\frac{3(5,75) + 7(6,25) + 10(6,75) + 6(7,25) + 4(7,75)}{30} = \displaystyle\frac{203,5}{30} \approx 6,783 \text{ (tấn/ha)} \]- Phương sai:
\[ s_A^2 = \displaystyle\frac{3(5,75)^2 + 7(6,25)^2 + 10(6,75)^2 + 6(7,25)^2 + 4(7,75)^2}{30} - (6,783)^2 \approx 0,339 \]- Độ lệch chuẩn: \(s_A = \sqrt{0,339} \approx 0,582\).
3. Đối với Giống lúa B:
- Cỡ mẫu: \(n_B = 1 + 5 + 15 + 7 + 2 = 30\).
- Số trung bình:
\[ \bar{x}_B = \displaystyle\frac{1(5,75) + 5(6,25) + 15(6,75) + 7(7,25) + 2(7,75)}{30} = \displaystyle\frac{204}{30} = 6,800 \text{ (tấn/ha)} \]- Phương sai:
\[ s_B^2 = \displaystyle\frac{1(5,75)^2 + 5(6,25)^2 + 15(6,75)^2 + 7(7,25)^2 + 2(7,75)^2}{30} - (6,8)^2 \approx 0,215 \]- Độ lệch chuẩn: \(s_B = \sqrt{0,215} \approx 0,464\).
Kết luận:
Vì \(s_B \approx 0,464 < s_A \approx 0,582\) nên năng suất của giống lúa B ổn định hơn giống lúa A (mặc dù năng suất trung bình của hai giống xấp xỉ bằng nhau).
6. Bảng tổng kết công thức & Bài tập tự luyện
| Đại lượng | Công thức toán học | Ý nghĩa thực tiễn |
|---|---|---|
| Giá trị đại diện (\(x_i\)) | \(x_i = \displaystyle\frac{a_i + a_{i+1}}{2}\) | Đại diện cho nhóm \([a_i; a_{i+1})\) |
| Số trung bình (\(\bar{x}\)) | \(\bar{x} = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i\) | Mức độ trung tâm của dữ liệu |
| Phương sai (\(s^2\)) | \(s^2 = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \bar{x})^2\) | Đo độ phân tán (đơn vị bình phương) |
| Độ lệch chuẩn (\(s\)) | \(s = \sqrt{s^2}\) | Đo độ phân tán (cùng đơn vị gốc) |
Bài 1: Kết quả đo chiều cao (cm) của 40 học sinh lớp 12A được ghi lại ở bảng ghép nhóm sau:
| Chiều cao (cm) | \([150; 155)\) | \([155; 160)\) | \([160; 165)\) | \([165; 170)\) | \([170; 175)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 4 | 10 | 16 | 7 | 3 |
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Bài 2: Hai vận động viên bắn súng A và B thực hiện 50 lần bắn. Độ lệch chuẩn điểm số thu được của A là \(s_A = 1,2\) và của B là \(s_B = 0,8\). Nhận xét về độ đều tay trong thi đấu của vận động viên nào tốt hơn?