GIẢI BÀI TẬP BÀI 10: PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)

a) Hoàn thiện mẫu số liệu ghép nhóm:

Đếm số giá trị rơi vào từng nửa khoảng:

• Nhóm \([48,5; 49)\): 48,7; 48,9; 48,8; 48,8; 48,7; 48,6 \(\Rightarrow\) 6 bao.
• Nhóm \([49; 49,5)\): 49,3; 49,2 \(\Rightarrow\) 2 bao.
• Nhóm \([49,5; 50)\): 49,5; 49,6; 49,8; 49,6 \(\Rightarrow\) 4 bao.
• Nhóm \([50; 50,5)\): 50,2; 50,1; 50,4; 50,0 \(\Rightarrow\) 4 bao.
• Nhóm \([50,5; 51)\): 50,8; 50,5; 50,7; 50,6; 50,9; 50,7 \(\Rightarrow\) 6 bao.
• Nhóm \([51; 51,5)\): 51,1; 51,3; 51,4; 51,2; 51,2; 51,4; 51,2; 51,1 \(\Rightarrow\) 8 bao.

Bảng số liệu ghép nhóm hoàn chỉnh:

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn:

1. Mẫu số liệu gốc:

• Số trung bình:
  \(\bar{x} = \frac{49,5 + 51,1 + \dots + 49,6}{30} = \frac{1503,3}{30} = 50,11\text{ (kg)}\).
• Phương sai:
  \(s^2 = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} (x_i - 50,11)^2 \approx 0,9049\).
• Độ lệch chuẩn:
  \(s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0,9049} \approx 0,9513\text{ (kg)}\).

2. Mẫu số liệu ghép nhóm:

Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: \(c_1 = 48,75\); \(c_2 = 49,25\); \(c_3 = 49,75\); \(c_4 = 50,25\); \(c_5 = 50,75\); \(c_6 = 51,25\).

• Số trung bình ghép nhóm:
  \(\bar{x}_g = \frac{6 \cdot 48,75 + 2 \cdot 49,25 + 4 \cdot 49,75 + 4 \cdot 50,25 + 6 \cdot 50,75 + 8 \cdot 51,25}{30} = \frac{1505}{30} \approx 50,167\text{ (kg)}\).
• Phương sai ghép nhóm:
  \(s_g^2 = \frac{1}{30} \left[ 6 \cdot 48,75^2 + 2 \cdot 49,25^2 + 4 \cdot 49,75^2 + 4 \cdot 50,25^2 + 6 \cdot 50,75^2 + 8 \cdot 51,25^2 \right] - 50,167^2 \approx 0,8789\).
• Độ lệch chuẩn ghép nhóm:
  \(s_g = \sqrt{0,8789} \approx 0,9375\text{ (kg)}\).

Nhận xét:

• Các giá trị tính từ mẫu số liệu gốc là các giá trị chính xác.
• Các giá trị tính từ mẫu số liệu ghép nhóm là các giá trị xấp xỉ.

Giá trị đại diện cho các nhóm tuổi thọ là: \(1,75\); \(2,25\); \(2,75\); \(3,25\); \(3,75\).

1. Phân xưởng 1:

• Cỡ mẫu \(n_1 = 4 + 9 + 13 + 8 + 6 = 40\).
• Số trung bình:
  \(\bar{x}_1 = \frac{4 \cdot 1,75 + 9 \cdot 2,25 + 13 \cdot 2,75 + 8 \cdot 3,25 + 6 \cdot 3,75}{40} = \frac{111,5}{40} = 2,7875\text{ (năm)}\).
• Phương sai:
  \(s_1^2 = \frac{1}{40} \left( 4 \cdot 1,75^2 + 9 \cdot 2,25^2 + 13 \cdot 2,75^2 + 8 \cdot 3,25^2 + 6 \cdot 3,75^2 \right) - 2,7875^2 \approx 0,3323\).
• Độ lệch chuẩn:
  \(s_1 = \sqrt{0,3323} \approx 0,5765\text{ (năm)}\).

2. Phân xưởng 2:

• Cỡ mẫu \(n_2 = 2 + 8 + 20 + 7 + 3 = 40\).
• Số trung bình:
  \(\bar{x}_2 = \frac{2 \cdot 1,75 + 8 \cdot 2,25 + 20 \cdot 2,75 + 7 \cdot 3,25 + 3 \cdot 3,75}{40} = \frac{110,5}{40} = 2,7625\text{ (năm)}\).
• Phương sai:
  \(s_2^2 = \frac{1}{40} \left( 2 \cdot 1,75^2 + 8 \cdot 2,25^2 + 20 \cdot 2,75^2 + 7 \cdot 3,25^2 + 3 \cdot 3,75^2 \right) - 2,7625^2 \approx 0,2111\).
• Độ lệch chuẩn:
  \(s_2 = \sqrt{0,2111} \approx 0,4595\text{ (năm)}\).

Nhận xét về độ phân tán:

Vì \(s_1 \approx 0,5765 > s_2 \approx 0,4595\) (hoặc \(s_1^2 > s_2^2\)), nên tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi phân xưởng 1 có độ phân tán lớn hơn phân xưởng 2 (tuổi thọ linh kiện ở phân xưởng 2 đồng đều/ổn định hơn).

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn:

Giá trị đại diện cho các nhóm là: \(4,75\); \(5,25\); \(5,75\); \(6,25\). Cỡ mẫu \(n = 20\).

• Số trung bình:
  \(\bar{x} = \frac{3 \cdot 4,75 + 8 \cdot 5,25 + 7 \cdot 5,75 + 2 \cdot 6,25}{20} = \frac{109}{20} = 5,45\text{ (\(\mu\text{m}\))}\).
• Phương sai:
  \(s^2 = \frac{1}{20} \left( 3 \cdot 4,75^2 + 8 \cdot 5,25^2 + 7 \cdot 5,75^2 + 2 \cdot 6,25^2 \right) - 5,45^2 = 0,21\).
• Độ lệch chuẩn:
  \(s = \sqrt{0,21} \approx 0,4583\text{ (\(\mu\text{m}\))}\).

b) Ý nghĩa của các đại lượng:

• Số trung bình (\(\bar{x} = 5,45\mu\text{m}\)): Cho biết giá trị đại diện cho đường kính nhân tế bào thu được từ phép đo của nhóm học sinh.
• Độ lệch chuẩn (\(s \approx 0,4583\mu\text{m}\)): Đo mức độ rủi ro hay độ biến động/phân tán của kết quả đo xung quanh giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn càng nhỏ chứng tỏ kết quả đo giữa các học sinh càng có sự đồng đều và có độ tin cậy cao.

Giá trị đại diện cho các nhóm thời gian là: \(10,15\); \(10,45\); \(10,75\); \(11,05\).

1. Vận động viên A:

• Cỡ mẫu \(n_A = 2 + 10 + 5 + 3 = 20\).
• Số trung bình:
  \(\bar{x}_A = \frac{2 \cdot 10,15 + 10 \cdot 10,45 + 5 \cdot 10,75 + 3 \cdot 11,05}{20} = \frac{211,7}{20} = 10,585\text{ (giây)}\).
• Phương sai:
  \(s_A^2 = \frac{1}{20} \left( 2 \cdot 10,15^2 + 10 \cdot 10,45^2 + 5 \cdot 10,75^2 + 3 \cdot 11,05^2 \right) - 10,585^2 = 0,072275\).
• Độ lệch chuẩn:
  \(s_A = \sqrt{0,072275} \approx 0,2688\text{ (giây)}\).

2. Vận động viên B:

• Cỡ mẫu \(n_B = 3 + 7 + 9 + 6 = 25\).
• Số trung bình:
  \(\bar{x}_B = \frac{3 \cdot 10,15 + 7 \cdot 10,45 + 9 \cdot 10,75 + 6 \cdot 11,05}{25} = \frac{266,6}{25} = 10,664\text{ (giây)}\).
• Phương sai:
  \(s_B^2 = \frac{1}{25} \left( 3 \cdot 10,15^2 + 7 \cdot 10,45^2 + 9 \cdot 10,75^2 + 6 \cdot 11,05^2 \right) - 10,664^2 = 0,094704\).
• Độ lệch chuẩn:
  \(s_B = \sqrt{0,094704} \approx 0,3077\text{ (giây)}\).

Kết luận:

Vì \(s_A \approx 0,2688 < s_B \approx 0,3077\) nên độ lệch chuẩn thời gian chạy của vận động viên A nhỏ hơn vận động viên B. Do đó, vận động viên A có thành tích luyện tập ổn định hơn.

a) NÊN dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh.

Vì: Điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh ở hai trường này cùng đo trên một thang điểm (từ 0 đến 10) và có cùng đơn vị đo (điểm), hơn nữa chất lượng hai trường tương đương nhau nên số trung bình của hai mẫu số liệu sẽ xấp xỉ nhau. Do đó, phương sai hoặc độ lệch chuẩn là công cụ thích hợp và hiệu quả để so sánh độ phân tán.

b) KHÔNG NÊN dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh trực tiếp.

Vì: Mặc dù cùng đơn vị đo (tiền tệ), nhưng quy mô doanh thu của cửa hàng bán lẻ và siêu thị chênh lệch nhau rất lớn (doanh thu trung bình của siêu thị lớn hơn rất nhiều so với cửa hàng bán lẻ). Khi hai mẫu số liệu có giá trị trung bình chênh lệch quá nhiều, độ lệch chuẩn hay phương sai của mẫu có giá trị trung bình lớn hơn thường cũng sẽ lớn hơn rất nhiều, làm cho việc so sánh tuyệt đối không còn phản ánh chính xác độ biến động tương đối.