BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II - TOÁN 12

Lời giải chi tiết:
Theo quy tắc hình hộp trong không gian, xuất phát từ đỉnh \(A\): \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}\).
Đáp án đúng: A

Lời giải chi tiết:
Định nghĩa tích vô hướng trong không gian: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})\).
Đáp án đúng: B

Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}\) và \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}\).
Cộng hai vế ta được: \(2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN})\).
Vì \(M, N\) là trung điểm nên \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}\) và \(\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN} = \vec{0}\).
Suy ra \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})\).
Đáp án đúng: C

Lời giải chi tiết:
Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông nên \(\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AC}\).
Góc giữa \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{A'C'}\) chính là góc giữa \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) trong hình vuông \(ABCD\), do đó bằng \(45^\circ\).
Đáp án đúng: D

Lời giải chi tiết:
Tọa độ vectơ \(\overrightarrow{OA}\) trùng với tọa độ của điểm \(A\), do đó \(\overrightarrow{OA} = (2; -1; 3)\).
Đáp án đúng: B

Lời giải chi tiết:
Hình chiếu của \(M(x; y; z)\) lên mặt phẳng \((Oxy)\) giữ nguyên \(x, y\) và cho \(z = 0\), nên có tọa độ \((3; -2; 0)\).
Đáp án đúng: A

Lời giải chi tiết:
Tọa độ trung điểm \(I = \left(\frac{1+3}{2}; \frac{2+(-2)}{2}; \frac{-3+1}{2}\right) = (2; 0; -1)\).
Đáp án đúng: C

Lời giải chi tiết:
\(AB = \sqrt{(-1-1)^2 + (2-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\).
Đáp án đúng: D

Lời giải chi tiết:
\(\vec{a} + \vec{b} = (1 + (-2); 2 + 1; -3 + 4) = (-1; 3; 1)\).
Đáp án đúng: A

Lời giải chi tiết:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(0) + (-1)(3) + 1(4) = 0 - 3 + 4 = 1\).
Đáp án đúng: C

Lời giải chi tiết:
\(2\vec{a} = (2; 0; -4)\) và \(3\vec{b} = (6; -3; 3)\).
\(\vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b} = (2 - 6; 0 - (-3); -4 - 3) = (-4; 3; -7)\).
Đáp án đúng: B

Lời giải chi tiết:
\(\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{1(0) + 1(1) + 0(1)}{\sqrt{1^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{0^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\).
Suy ra góc giữa hai vectơ bằng \(60^\circ\).
Đáp án đúng: D

Lời giải chi tiết:
Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\):
a) **SAI**: \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO}\), không phải \(\overrightarrow{SO}\).
b) **ĐÚNG**: \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO}\).
c) **ĐÚNG**: Vì \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO}\) và \(\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}\).
d) **SAI**: Theo quy tắc vòng kín: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}\).
Đáp án: a-S, b-Đ, c-Đ, d-S

Lời giải chi tiết:
a) **ĐÚNG**: \(A(1; 0; 0)\) có tung độ và cao độ bằng 0 nên thuộc trục \(Ox\).
b) **SAI**: Trọng tâm \(G = \left(\frac{1+0+0}{3}; \frac{0+2+0}{3}; \frac{0+0+3}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; 1\right)\).
c) **ĐÚNG**: \(\overrightarrow{AB} = (0-1; 2-0; 0-0) = (-1; 2; 0)\).
d) **SAI**: \(BC = \sqrt{(0-0)^2 + (0-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \ne \sqrt{5}\).
Đáp án: a-Đ, b-S, c-Đ, d-S

Lời giải chi tiết:
a) **ĐÚNG**: \(|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\).
b) **SAI**: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(1) + (-1)(2) + 2(-2) = 2 - 2 - 4 = -4 \ne 4\).
c) **SAI**: Vì \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -4 \ne 0\) nên hai vectơ không vuông góc.
d) **ĐÚNG**: \(\vec{u} - 2\vec{v} = (2 - 2(1); -1 - 2(2); 2 - 2(-2)) = (0; -5; 6)\).
Đáp án: a-Đ, b-S, c-S, d-Đ

Lời giải chi tiết:
a) **SAI**: \(\overrightarrow{CM} = (4-1; 6-2; 4-4) = (3; 4; 0)\).
b) **ĐÚNG**: Khoảng cách \(CM = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\) m.
c) **SAI**: Điểm \(M(4; 6; 4)\) có tung độ \(y = 6 \ne 0\) nên không thuộc \((Oxz)\).
d) **ĐÚNG**: \(\vec{e} = \frac{\overrightarrow{CM}}{CM} = \left(\frac{3}{5}; \frac{4}{5}; 0\right)\).
Đáp án: a-S, b-Đ, c-S, d-Đ

Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\).
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) = \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AA'}\).
Do các cạnh đôi một vuông góc nên \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0\) và \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AA'} = 0\).
Suy ra \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC'} = AB^2 = 2^2 = 4\).
Kết quả: 4

Lời giải chi tiết:
Cao độ của trọng tâm \(G\): \(z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{3 + 0 + 3}{3} = 2\).
Kết quả: 2

Lời giải chi tiết:
Khoảng cách \(OM = \sqrt{6^2 + 8^2 + (2.4)^2} = \sqrt{36 + 64 + 5.76} = \sqrt{105.76} = 10.28\) km.
Hoặc làm tròn 10.28 km.
Kết quả: 10.28 (hoặc 10,28)

Lời giải chi tiết:
\(\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow x(2) + 2(-1) + 1(4) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -1\).
Kết quả: -1

Lời giải chi tiết:
Vectơ dịch chuyển sau 2 giờ là \(\vec{s} = 2\vec{v} = (6; 8; 0)\).
Vị trí thuyền sau 2 giờ là điểm \(\overrightarrow{AB} = \vec{s}\Rightarrow B = (7; 9; 0)\).
Khoảng cách đến gốc tọa độ: \(OB = \sqrt{7^2 + 9^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 81} = \sqrt{130} \approx 11.4\).
Nhập giá trị chính xác dạng căn \(\sqrt{130}\) hoặc số thập phân làm tròn 11.4.
Kết quả: 11.4 (hoặc \(\sqrt{130}\))

Lời giải chi tiết:
Hợp lực \(\vec{F} = (2 + (-1) + 3; 1 + 3 + (-4); 5 + (-2) + 1) = (4; 0; 4)\).
Độ lớn của hợp lực: \(|\vec{F}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66\) N.
Kết quả: 5.66 (hoặc \(4\sqrt{2}\))