GIẢI BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II: VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)

Chọn D.

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên với điểm \(A\) tùy ý ta có \(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} = 3\vec{AG}\) (B đúng) và \(\vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0}\) (A đúng).
Do đó, \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{GA} + \vec{0} = \vec{GA} \neq \vec{0}\) (với \(A\) không trùng \(G\)). Khẳng định D là sai.

Chọn B.

Ta có: \(\vec{AM} = \vec{AC} + \vec{CM}\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(CC'\) nên \(\vec{CM} = \frac{1}{2}\vec{CC'} = \frac{1}{2}\vec{AA'}\).
Do đó, \(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA'}\).

Chọn C.

Thử lại đáp án C: \(\vec{A'B} + \vec{B'D'} = \vec{A'D'}\) (không bằng \(\vec{AC'}\)). Do đó C sai.

Chọn B.

Vì \(M\) là trung điểm \(CD\) nên \(\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD})\).
Do đó \(\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} \cdot (\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{2} (\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AB} \cdot \vec{AD})\).
Các mặt của tứ diện đều là tam giác đều cạnh \(a\) nên:
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{a^2}{2}\), tương tự \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = \frac{a^2}{2}\).
\(\Rightarrow \vec{AB} \cdot \vec{AM} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} \right) = \frac{a^2}{2}\).

Chọn C.

Tính \(3\vec{a} = 3(1; -2; 2) = (3; -6; 6)\). Khẳng định C ghi là \((3; -2; 2)\) là sai.

Chọn C.

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\vec{AD} = \vec{BC}\).
Ta có \(\vec{BC} = (3 - 2;\; 2 - 1;\; 2 - (-1)) = (1; 1; 3)\).
Gọi \(D(x; y; z) \Rightarrow \vec{AD} = (x + 1;\; y;\; z - 3)\).
Do đó: \[\begin{cases} x + 1 = 1 \\ y = 1 \\ z - 3 = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 6 \end{cases}\] Vậy \(D(0; 1; 6)\).

Chọn A.

Áp dụng công thức trọng tâm: \[\begin{cases} x_C = 3x_G - x_A - x_B = 3(2) - 1 - 0 = 5 \\ y_C = 3y_G - y_A - y_B = 3(1) - 0 - (-1) = 4 \\ z_C = 3z_G - z_A - z_B = 3(0) - (-1) - 2 = -1 \end{cases}\] Vậy \(C(5; 4; -1)\).

Chọn B.

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(-2) + 1(-1) + (-3)2 = -4 - 1 - 6 = -11\).

Chọn B.

Ta có:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(0) + 1(-1) + (-2)1 = -3\).
\(\vert{}\vec{a}\vert{} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3\).
\(\vert{}\vec{b}\vert{} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
\[\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vert{}\vec{a}\vert{} \cdot \vert{}\vec{b}\vert{}} = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ\]

Chọn D.

Ta có:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)1 + 2(-1) + 2(-2) = -2 - 2 - 4 = -8\).
\(\vert{}\vec{a}\vert{} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
\(\vert{}\vec{b}\vert{} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}\).
\[\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{-8}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-8}{2\sqrt{18}} = \frac{-8}{6\sqrt{2}} = \frac{-4}{3\sqrt{2}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\] Lưu ý: Tính đúng cho đáp án A (sửa từ D sang A theo phép tính chính xác):
\[\cos(\vec{a}, \vec{b}) = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \quad \mathbf{(\text{Chọn A})}\]

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của hình chữ nhật \(ABCD\).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó \(O\) là trung điểm của cả hai đoạn thẳng \(AC\) và \(BD\).

Áp dụng tính chất trung điểm cho điểm \(S\) bất kỳ:

• Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên: \[\vec{SA} + \vec{SC} = 2\vec{SO} \quad (1)\]
• Vì \(O\) là trung điểm của \(BD\) nên: \[\vec{SB} + \vec{SD} = 2\vec{SO} \quad (2)\]

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

Từ giả thiết biến đổi tọa độ vectơ:

• \(\vec{MB} + 2\vec{MA} = \vec{0} \Rightarrow \vec{MA} + \vec{AB} + 2\vec{MA} = \vec{0} \Rightarrow 3\vec{MA} + \vec{AB} = \vec{0} \Rightarrow \vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AB}\).
• \(\vec{NC} = 2\vec{DN} \Rightarrow \vec{ND} + \vec{DC} = 2\vec{DN} \Rightarrow 3\vec{DN} = \vec{DC} \Rightarrow \vec{DN} = \frac{1}{3}\vec{DC}\).

Sử dụng quy tắc chèn điểm:

Phân tích \(\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB}\) và \(\vec{DC} = \vec{DB} + \vec{BC}\):

a) Biểu diễn \(\vec{AG}\):

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'DA'\) nên với điểm \(A\) bất kỳ ta có: \[\vec{AG} = \frac{1}{3}\left(\vec{AB'} + \vec{AD} + \vec{AA'}\right)\] Mà \(\vec{AB'} = \vec{AB} + \vec{AA'}\), thay vào biểu thức trên: \[\vec{AG} = \frac{1}{3}\left(\vec{AB} + \vec{AA'} + \vec{AD} + \vec{AA'}\right) = \mathbf{\frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AD} + \frac{2}{3}\vec{AA'}}\]

b) Chứng minh \(A, G, C'\) thẳng hàng:

Theo quy tắc hình hộp ta có: \[\vec{AC'} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}\] Mặt khác, xét lại biểu thức \(\vec{AG}\) theo ba vectơ xuất phát từ đỉnh \(A\): \[\vec{AG} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}) = \frac{1}{3}\vec{AC'}\] Do \(\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AC'}\) nên hai vectơ \(\vec{AG}\) và \(\vec{AC'}\) cùng phương.
Vậy ba điểm \(A, G, C'\) thẳng hàng (và điểm \(G\) nằm trên đoạn thẳng \(AC'\) sao cho \(AG = \frac{1}{3}AC'\)).

a) Tọa độ trọng tâm \(G\):

b) Tìm điểm \(M \in Oz\):

Vì \(M \in Oz\) nên gọi tọa độ của \(M\) là \((0; 0; z)\).
Ta có:
\(\vec{BM} = (0 - 1;\; 0 - 1;\; z - (-1)) = (-1; -1; z + 1)\)
\(\vec{AC} = (-1 - 2;\; 0 - (-1);\; 2 - 3) = (-3; 1; -1)\)
Đường thẳng \(BM \perp AC \Leftrightarrow \vec{BM} \cdot \vec{AC} = 0\): \[(-1)(-3) + (-1)(1) + (z + 1)(-1) = 0 \Rightarrow 3 - 1 - z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1\] Vậy \(\mathbf{M(0; 0; 1)}\).

Gốc tọa độ \(O(0; 0; 0)\).

• Đỉnh \(B\): Vì \(OABC\) là hình bình hành nên:
  \(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC} = (2 + (-1);\; 3 + 2;\; 1 + 3) = (1; 5; 4) \Rightarrow \mathbf{B(1; 5; 4)}\).
• Vectơ tịnh tiến giữa hai đáy là \(\vec{OO'} = (1; -2; 2)\).
• Đỉnh \(A'\): \(\vec{OA'} = \vec{OA} + \vec{OO'} = (2 + 1;\; 3 - 2;\; 1 + 2) = (3; 1; 3) \Rightarrow \mathbf{A'(3; 1; 3)}\).
• Đỉnh \(B'\): \(\vec{OB'} = \vec{OB} + \vec{OO'} = (1 + 1;\; 5 - 2;\; 4 + 2) = (2; 3; 6) \Rightarrow \mathbf{B'(2; 3; 6)}\).
• Đỉnh \(C'\): \(\vec{OC'} = \vec{OC} + \vec{OO'} = (-1 + 1;\; 2 - 2;\; 3 + 2) = (0; 0; 5) \Rightarrow \mathbf{C'(0; 0; 5)}\).

a) Xác định tọa độ \(\vec{u}\):

Ta có \(2\vec{b} = (2; 2; -2)\).
\(\vec{u} = \vec{a} - 2\vec{b} = (-2 - 2;\; 1 - 2;\; 2 - (-2)) = \mathbf{(-4; -1; 4)}\).

b) Tính độ dài \(\vec{u}\):

c) Tính \(\cos(\vec{a}, \vec{b})\):

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(1) + 1(1) + 2(-1) = -2 + 1 - 2 = -3\).
\(|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = 3\).
\(|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}\).
\[\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-3}{3\sqrt{3}} = \mathbf{-\frac{\sqrt{3}}{3}}\]

a) Tọa độ \(\vec{AB}\) và độ dài đoạn \(AB\):

\(\vec{AB} = (1 - 4;\; -1 - 2;\; 2 - (-1)) = \mathbf{(-3; -3; 3)}\).
\(AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{27} = \mathbf{3\sqrt{3}}\).

b) Tìm điểm \(M\):

\(\vec{AB} + \vec{CM} = \vec{0} \Rightarrow \vec{CM} = -\vec{AB} = (3; 3; -3)\).
Gọi \(M(x; y; z) \Rightarrow \vec{CM} = (x - 0;\; y - (-2);\; z - 3) = (x;\; y + 2;\; z - 3)\).
Do đó: \[\begin{cases} x = 3 \\ y + 2 = 3 \\ z - 3 = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}\] Vậy \(\mathbf{M(3; 1; 0)}\).

c) Tìm điểm \(N \in (Oxy)\) sao cho \(A, B, N\) thẳng hàng:

Vì \(N \in (Oxy)\) nên \(N(x; y; 0)\).
Ta có \(\vec{AN} = (x - 4;\; y - 2;\; 0 - (-1)) = (x - 4;\; y - 2;\; 1)\).
Để ba điểm \(A, B, N\) thẳng hàng thì \(\vec{AN}\) phải cùng phương với \(\vec{AB} = (-3; -3; 3)\): \[\frac{x - 4}{-3} = \frac{y - 2}{-3} = \frac{1}{3}\] Suy ra: \[\begin{cases} x - 4 = -1 \Rightarrow x = 3 \\ y - 2 = -1 \Rightarrow y = 1 \end{cases}\] Vậy \(\mathbf{N(3; 1; 0)}\).

a) Lập hệ trục tọa độ và xác định tọa độ bóng đèn:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho:
- Gốc \(O\) trùng với giao điểm góc giữa trần nhà và hai bức tường.
- Hai trục \(Ox, Oy\) nằm trên trần nhà dọc theo hai mép tường.
- Trục \(Oz\) hướng thẳng đứng vuông góc xuống trần nhà.

• Vị trí ban đầu \(D_1\):
  Khoảng cách tới tường 1 (theo \(x\)): \(1{,}2\text{ m}\).
  Khoảng cách tới tường 2 (theo \(y\)): \(1{,}5\text{ m}\).
  Khoảng cách tới trần nhà (theo \(z\)): \(0{,}5\text{ m}\).
  \(\Rightarrow \mathbf{D_1(1{,}2;\; 1{,}5;\; 0{,}5)}\).
• Vị trí sau khi di chuyển \(D_2\):
  Khoảng cách tới tường 1: \(1{,}5\text{ m}\).
  Khoảng cách tới tường 2: \(1{,}5\text{ m}\).
  Khoảng cách tới trần nhà: \(0{,}4\text{ m}\).
  \(\Rightarrow \mathbf{D_2(1{,}5;\; 1{,}5;\; 0{,}4)}\).

b) Khoảng cách giữa vị trí mới và vị trí ban đầu:

Tính độ dài đoạn thẳng \(D_1D_2\): \[D_1D_2 = \sqrt{(1{,}5 - 1{,}2)^2 + (1{,}5 - 1{,}5)^2 + (0{,}4 - 0{,}5)^2} = \sqrt{0{,}3^2 + 0^2 + (-0{,}1)^2} = \sqrt{0{,}09 + 0{,}01} = \sqrt{0{,}10} \approx 0{,}316\text{ m}\] Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất: \(\mathbf{D_1D_2 \approx 0{,}3\text{ m}}\).