📘 BÀI HỌC TOÁN 12: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương II)
1. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ cơ bản
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{u} = (x_1; y_1; z_1)\), \(\vec{v} = (x_2; y_2; z_2)\) và một số thực \(k \in \mathbb{R}\).
- Phép cộng hai vectơ: \[ \vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2) \]
- Phép trừ hai vectơ: \[ \vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2) \]
- Phép nhân vectơ với một số: \[ k\vec{u} = (kx_1; ky_1; kz_1) \]
Các điều kiện quan trọng:
- Hai vectơ bằng nhau: \[ \vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = x_2 \\ y_1 = y_2 \\ z_1 = z_2 \end{cases} \]
- Hai vectơ cùng phương: Với \(\vec{v} \ne \vec{0}\), \(\vec{u}\) cùng phương với \(\vec{v}\) khi và chỉ khi tồn tại số thực \(k\) sao cho \(\vec{u} = k\vec{v}\), tức là: \[ \begin{cases} x_1 = kx_2 \\ y_1 = ky_2 \\ z_1 = kz_2 \end{cases} \quad \left(\text{Hoặc } \displaystyle\frac{x_1}{x_2} = \displaystyle\frac{y_1}{y_2} = \displaystyle\frac{z_1}{z_2} \text{ nếu } x_2, y_2, z_2 \ne 0\right) \]
2. Tọa độ của điểm, vectơ nối hai điểm và các điểm đặc biệt
Cho hai điểm \(A(x_A; y_A; z_A)\) và \(B(x_B; y_B; z_B)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) bằng tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu tương ứng:
\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \]- Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\): \[ x_M = \displaystyle\frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_M = \displaystyle\frac{y_A + y_B}{2}, \quad z_M = \displaystyle\frac{z_A + z_B}{2} \]
- Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\): \[ x_G = \displaystyle\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \displaystyle\frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \quad z_G = \displaystyle\frac{z_A + z_B + z_C}{3} \]
- Tọa độ trọng tâm \(G\) của tứ diện \(ABCD\): \[ x_G = \displaystyle\frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}, \quad y_G = \displaystyle\frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}, \quad z_G = \displaystyle\frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4} \]
3. Biểu thức tọa độ của Tích vô hướng và Ứng dụng
Cho hai vectơ \(\vec{u} = (x_1; y_1; z_1)\) và \(\vec{v} = (x_2; y_2; z_2)\):
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) bằng tổng các tích của các tọa độ tương ứng:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \]- Độ dài của một vectơ: \[ |\vec{u}| = \sqrt{\vec{u}^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \]
- Khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_A; y_A; z_A)\) và \(B(x_B; y_B; z_B)\): \[ AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]
- Góc giữa hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) (\(\vec{u}, \vec{v} \ne \vec{0}\)): \[ \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \displaystyle\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \displaystyle\frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}} \]
4. Ứng dụng mô hình hóa trong Thực tế & Vật lý
Trong thực tiễn, tọa độ vectơ được dùng để xác định vị trí vệ tinh, đường bay của máy bay, hợp lực tác dụng lên công trình xây dựng.
Ba lực \(\vec{F}_1 = (2; 3; 5)\), \(\vec{F}_2 = (-1; 4; 2)\) và \(\vec{F}_3 = (3; -2; 1)\) (đơn vị: Newton) cùng tác dụng vào một điểm thể hiện tại một nút khung cầu đường. Tìm tọa độ của hợp lực \(\vec{F}\) và độ lớn của hợp lực đó.
1. Tọa độ hợp lực: Theo quy tắc tổng hợp lực, hợp lực \(\vec{F}\) bằng tổng các lực thành phần:
\[ \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 \]Thay tọa độ các vectơ lực vào:
\[ \vec{F} = (2 + (-1) + 3; \; 3 + 4 + (-2); \; 5 + 2 + 1) = (4; 5; 8)\text{ (N)} \]2. Độ lớn của hợp lực:
\[ |\vec{F}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 25 + 64} = \sqrt{105} \approx 10,25\text{ (N)} \]5. Ví dụ minh họa & Bài tập luyện tập
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1; 2; 3)\), \(B(2; 1; 0)\), \(C(-1; 0; 2)\). Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
- Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (2 - 1; 1 - 2; 0 - 3) = (1; -1; -3)\).
- Gọi \(D(x; y; z)\), ta có: \(\overrightarrow{DC} = (-1 - x; 0 - y; 2 - z)\).
Do \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) nên ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases} -1 - x = 1 \\ -y = -1 \\ 2 - z = -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -2 \\ y = 1 \\ z = 5 \end{cases} \]Vậy tọa độ điểm \(D\) là \(D(-2; 1; 5)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(2; -1; 4)\) và \(B(0; 3; 2)\).
a) Tìm điểm \(C\) sao cho \(\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OB}\).
b) Tìm tọa độ giao điểm \(K\) của đường thẳng \(AB\) với mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\).
a) Ta có \(\overrightarrow{OA} = (2; -1; 4)\) và \(\overrightarrow{OB} = (0; 3; 2)\).
\(3\overrightarrow{OA} = (6; -3; 12)\) và \(2\overrightarrow{OB} = (0; 6; 4)\).
Suy ra \(\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OB} = (6 - 0; -3 - 6; 12 - 4) = (6; -9; 8)\).
Do đó tọa độ điểm \(C\) là \(C(6; -9; 8)\).
b) Điểm \(K \in (Oxy) \Rightarrow K(x_K; y_K; 0)\).
Ba điểm \(A, B, K\) thẳng hàng \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}\) cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\).
- \(\overrightarrow{AB} = (-2; 4; -2)\).
- \(\overrightarrow{AK} = (x_K - 2; y_K + 1; -4)\).
Vì \(\overrightarrow{AK}\) cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\) nên tồn tại số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{AK} = k\overrightarrow{AB}\):
\[ \begin{cases} x_K - 2 = -2k \\ y_K + 1 = 4k \\ -4 = -2k \end{cases} \Rightarrow k = 2 \Rightarrow \begin{cases} x_K = 2 - 2(2) = -2 \\ y_K = -1 + 4(2) = 7 \end{cases} \]Vậy giao điểm là \(K(-2; 7; 0)\).
Bài 1: Cho \(\vec{a} = (2; -1; 3)\), \(\vec{b} = (0; 3; -1)\), \(\vec{c} = (1; 2; 1)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\vec{x} = 3\vec{a} - 2\vec{b} + 4\vec{c}\).
Bài 2: Cho tam giác \(ABC\) với \(A(1; 0; -2)\), \(B(2; -1; 1)\), \(C(0; 4; 1)\). Tính chu vi tam giác \(ABC\) và góc \(\widehat{A}\) của tam giác.
Bài 3: Tìm \(m\) để hai vectơ \(\vec{u} = (m; 1; 2)\) và \(\vec{v} = (-1; m; 3)\) vuông góc với nhau.
6. Ghi nhớ & Bảng tổng kết các biểu thức tọa độ
| Phép toán / Mối quan hệ | Biểu thức Tọa độ trong Oxyz | Điều kiện / Ghi chú |
|---|---|---|
| Tọa độ Vectơ tổng / hiệu | \(\vec{u} \pm \vec{v} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2; z_1 \pm z_2)\) | Cộng/trừ từng tọa độ tương ứng |
| Nhân với số real \(k\) | \(k\vec{u} = (kx_1; ky_1; kz_1)\) | Nhân \(k\) vào cả 3 tọa độ |
| Hai vectơ cùng phương | \(\begin{cases} x_1 = kx_2 \\ y_1 = ky_2 \\ z_1 = kz_2 \end{cases}\) | \(\vec{v} \ne \vec{0}\) |
| Tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) | \(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\) | Kết quả là một số thực |
| Độ dài vectơ \(|\vec{u}|\) | \(\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\) | Căn bậc hai tổng bình phương tọa độ |
| Góc giữa 2 vectơ | \(\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \displaystyle\frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}\) | \(\vec{u}, \vec{v} \ne \vec{0}\) |
- Muốn chứng minh tam giác vuông tại \(A\), hãy tính \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) và cho kết quả bằng \(0\).
- Muốn xét 3 điểm \(A, B, C\) thẳng hàng, hãy tính hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) rồi kiểm tra tính cùng phương của chúng.