Giải Bài Tập Bài 8: Biểu Thức Tọa Độ Của Các Phép Toán Vectơ - Toán 12 KNTT

GIẢI BÀI TẬP BÀI 8: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)

Bài 2.20. Trong không gian \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\vec{a} = (3; 1; 2)\), \(\vec{b} = (-3; 0; 4)\) và \(\vec{c} = (6; -1; 0)\).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) và \(2\vec{a} - 3\vec{b} - 5\vec{c}\).
b) Tính các tích vô hướng \(\vec{a} \cdot (-\vec{b})\) và \((2\vec{a}) \cdot \vec{c}\).
Lời giải:

a) Tìm tọa độ các vectơ:

  • \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (3 + (-3) + 6;\; 1 + 0 + (-1);\; 2 + 4 + 0) = \mathbf{(6; 0; 6)}\).
  • Ta có:
    \(2\vec{a} = (6; 2; 4)\)
    \(3\vec{b} = (-9; 0; 12)\)
    \(5\vec{c} = (30; -5; 0)\)
    \(\Rightarrow 2\vec{a} - 3\vec{b} - 5\vec{c} = (6 - (-9) - 30;\; 2 - 0 - (-5);\; 4 - 12 - 0) = \mathbf{(-15; 7; -8)}\).

b) Tính các tích vô hướng:

  • Ta có \(-\vec{b} = (3; 0; -4)\).
    \(\Rightarrow \vec{a} \cdot (-\vec{b}) = 3 \cdot 3 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-4) = 9 + 0 - 8 = \mathbf{1}\).
  • Ta có \(2\vec{a} = (6; 2; 4)\) và \(\vec{c} = (6; -1; 0)\).
    \(\Rightarrow (2\vec{a}) \cdot \vec{c} = 6 \cdot 6 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 = 36 - 2 + 0 = \mathbf{34}\).
Bài 2.21. Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(M(-4; 3; 3)\), \(N(4; -4; 2)\) và \(P(3; 6; -1)\).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\vec{MN}\), \(\vec{MP}\), từ đó chứng minh rằng ba điểm \(M, N, P\) không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec{NM} + \vec{NP}\), từ đó suy ra tọa độ của điểm \(Q\) sao cho tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.
c) Tính chu vi của hình bình hành \(MNPQ\).
Lời giải:

a) Tọa độ các vectơ và chứng minh ba điểm không thẳng hàng:

  • \(\vec{MN} = (4 - (-4);\; -4 - 3;\; 2 - 3) = \mathbf{(8; -7; -1)}\).
  • \(\vec{MP} = (3 - (-4);\; 6 - 3;\; -1 - 3) = \mathbf{(7; 3; -4)}\).
  • Vì \(\frac{8}{7} \neq \frac{-7}{3} \neq \frac{-1}{-4}\) nên hai vectơ \(\vec{MN}\) và \(\vec{MP}\) không cùng phương.
    Vậy ba điểm \(M, N, P\) không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ \(\vec{NM} + \vec{NP}\) và tọa độ điểm \(Q\):

  • \(\vec{NM} = -\vec{MN} = (-8; 7; 1)\).
  • \(\vec{NP} = (3 - 4;\; 6 - (-4);\; -1 - 2) = (-1; 10; -3)\).
  • \(\Rightarrow \vec{NM} + \vec{NP} = (-8 + (-1);\; 7 + 10;\; 1 + (-3)) = \mathbf{(-9; 17; -2)}\).
  • Để tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành thì \(\vec{NQ} = \vec{NM} + \vec{NP}\) (theo quy tắc hình bình hành).
    Gọi \(Q(x; y; z) \Rightarrow \vec{NQ} = (x - 4;\; y - (-4);\; z - 2) = (x - 4;\; y + 4;\; z - 2)\).
    Do đó: \[\begin{cases} x - 4 = -9 \\ y + 4 = 17 \\ z - 2 = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -5 \\ y = 13 \\ z = 0 \end{cases}\] Vậy \(\mathbf{Q(-5; 13; 0)}\).

c) Chu vi hình bình hành \(MNPQ\):

  • \(MN = |\vec{MN}| = \sqrt{8^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 49 + 1} = \sqrt{114}\).
  • \(NP = |\vec{NP}| = \sqrt{(-1)^2 + 10^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 100 + 9} = \sqrt{110}\).
  • Chu vi hình bình hành \(MNPQ = 2 \cdot (MN + NP) = \mathbf{2(\sqrt{114} + \sqrt{110})}\).
Bài 2.22. Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A(1; 0; 1)\), \(B(0; -3; 1)\) và \(C(4; -1; 4)\).
a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\).
b) Chứng minh rằng \(\widehat{BAC} = 90^\circ\).
c) Tính \(\widehat{ABC}\).
Lời giải:

a) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\):

\[x_G = \frac{1 + 0 + 4}{3} = \frac{5}{3}\] \[y_G = \frac{0 + (-3) + (-1)}{3} = -\frac{4}{3}\] \[z_G = \frac{1 + 1 + 4}{3} = 2\] Vậy \(\mathbf{G\left(\frac{5}{3}; -\frac{4}{3}; 2\right)}\).

b) Chứng minh \(\widehat{BAC} = 90^\circ\):

Ta có:
\(\vec{AB} = (0 - 1;\; -3 - 0;\; 1 - 1) = (-1; -3; 0)\)
\(\vec{AC} = (4 - 1;\; -1 - 0;\; 4 - 1) = (3; -1; 3)\)
Tính tích vô hướng: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 3 + (-3) \cdot (-1) + 0 \cdot 3 = -3 + 3 + 0 = 0\).
Vì \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\) nên \(\vec{AB} \perp \vec{AC}\), do đó \(\mathbf{\widehat{BAC} = 90^\circ}\).

c) Tính góc \(\widehat{ABC}\):

Ta có \(\vec{BA} = -\vec{AB} = (1; 3; 0)\) và \(\vec{BC} = (4 - 0;\; -1 - (-3);\; 4 - 1) = (4; 2; 3)\).
\(|\vec{BA}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{10}\)
\(|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}\)
Tích vô hướng: \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = 4 + 6 + 0 = 10\).
\[\cos \widehat{ABC} = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{10}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{29}} = \sqrt{\frac{10}{29}} \approx 0{,}5872\] \(\Rightarrow \mathbf{\widehat{ABC} \approx 54^\circ 2'}\) (hoặc khoảng \(54{,}03^\circ\)).

Bài 2.23. Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là \(8\text{ m}\), chiều rộng là \(6\text{ m}\) và chiều cao là \(3\text{ m}\). Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với một góc phòng và mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.
Lời giải:

Dựa vào hệ trục tọa độ \(Oxyz\) đã cho trên Hình 2.51:

  • Kích thước phòng học: Chiều dài theo trục \(Ox\) là \(8\text{ m}\), chiều rộng theo trục \(Oy\) là \(6\text{ m}\), chiều cao theo trục \(Oz\) là \(3\text{ m}\).
  • Chiếc đèn được treo ở vị trí chính giữa trần nhà:
    - Hoành độ \(x\) bằng một nửa chiều dài phòng: \(x = \frac{8}{2} = 4\text{ (m)}\).
    - Tung độ \(y\) bằng một nửa chiều rộng phòng: \(y = \frac{6}{2} = 3\text{ (m)}\).
    - Cao độ \(z\) bằng chiều cao của trần nhà so với mặt sàn (mặt phẳng \(Oxy\)): \(z = 3\text{ (m)}\).

Vậy tọa độ của điểm treo đèn là \(\mathbf{(4; 3; 3)}\).

Bài 2.24. Trong không gian, xét hệ tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục \(Ox\) hướng về phía tây, trục \(Oy\) hướng về phía nam và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian \(Oxyz\) lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là \(30\text{ km}\). Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là \((25; 15; -10)\) đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.
Lời giải:

Gọi vị trí đặt ra đa tại gốc tọa độ là \(O(0; 0; 0)\) và vị trí chiếc tàu thám hiểm là \(M(25; 15; -10)\).

Khoảng cách từ ra đa (gốc \(O\)) đến chiếc tàu thám hiểm (điểm \(M\)) là độ dài đoạn thẳng \(OM\):

\[OM = \sqrt{25^2 + 15^2 + (-10)^2} = \sqrt{625 + 225 + 100} = \sqrt{950} \approx 30{,}82\text{ (km)}\]

Vì khoảng cách \(OM \approx 30{,}82\text{ km}\) lớn hơn phạm vi theo dõi \(30\text{ km}\) của ra đa (\(30{,}82 > 30\)), nên chiếc ra đa không thể phát hiện được chiếc tàu thám hiểm này.