Chương II - Bài 2: Hệ Trục Tọa Độ Trong Không Gian

Giải thích: Tọa độ của một vectơ biểu diễn qua các vectơ đơn vị \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) trên các trục \(Ox, Oy, Oz\) lần lượt tương ứng với các hệ số đứng trước chúng. Do đó \(\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k} \Rightarrow \vec{u} = (2; -3; 5)\).

Giải thích: Hình chiếu vuông góc của điểm \(A(x_0; y_0; z_0)\) lên mặt phẳng \((Oxy)\) sẽ giữ nguyên hoành độ và tung độ, còn cao độ \(z = 0\). Do đó hình chiếu có tọa độ là \((3; -2; 0)\).

Giải thích: Áp dụng công thức tọa độ trung điểm \(I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right)\):
\(x_I = \frac{1 + 3}{2} = 2\); \(y_I = \frac{2 + (-2)}{2} = 0\); \(z_I = \frac{-3 + 1}{2} = -1\).
Vậy \(I(2; 0; -1)\).

Giải thích: Khoảng cách giữa hai điểm \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\).
\(AB = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - 1)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\).

Giải thích: Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 2 - 2 - 2 = -2\).

Giải thích: Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ:
\(x_G = \frac{1 + 2 + 3}{3} = 2\);
\(y_G = \frac{0 + 1 + 2}{3} = 1\);
\(z_G = \frac{1 + 3 + 1}{3} = \frac{5}{3}\).
Vậy \(G\left(2; 1; \frac{5}{3}\right)\).

Giải thích: Lấy đối xứng qua trục nào thì giữ nguyên tọa độ của trục đó, các tọa độ còn lại đổi dấu.
Đối xứng qua \(Oy \Rightarrow\) giữ nguyên \(y = -1\), đổi dấu hoành độ \(x\) và cao độ \(z\): \(x' = -2, z' = -3\).
Điểm đối xứng có tọa độ \((-2; -1; -3)\).

Giải thích: Công thức cosin góc giữa hai vectơ:
\(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vert{}\vec{a}\vert{} \cdot \vert{}\vec{b}\vert{}} = \frac{1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\).
Suy ra góc giữa hai vectơ bằng \(60^\circ\).

Giải thích: Quãng đường máy bay bay được trong 1 phút là khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\):
\(AB = \sqrt{(403 - 400)^2 + (304 - 300)^2 + (12 - 12)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\text{ km}\).
Thời gian \(t = 1\text{ phút} = \frac{1}{60}\text{ giờ}\).
Tốc độ của máy bay là \(v = \frac{AB}{t} = \frac{5}{\frac{1}{60}} = 300\text{ km/h}\).

Giải thích: Ta tính tọa độ hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\):
\(\overrightarrow{AB} = (2-1; 3-1; 4-1) = (1; 2; 3)\);
\(\overrightarrow{AC} = (3-1; 5-1; 7-1) = (2; 4; 6)\).
Nhận thấy \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\), chứng tỏ hai vectơ cùng phương, suy ra ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.