12-c2-b7. Hệ trục tọa độ trong không gian-LT

Bài học Toán THPT - Hệ Trục Tọa Độ Trong Không Gian

1. Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian

📌 Khái niệm Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc:

Hệ trục tọa độ \(Oxyz\) trong không gian gồm ba trục tọa độ \(Ox\) (trục hoành), \(Oy\) (trục tung), \(Oz\) (trục cao) đôi một vuông góc với nhau tại gốc tọa độ \(O\).

Gọi \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \(Ox, Oy, Oz\). Khi đó:

\[ |\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1 \quad \text{và} \quad \vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0 \]

Các mặt phẳng tọa độ:

Mặt phẳng \((Oxy)\): Chứa hai trục \(Ox\) và \(Oy\), vuông góc với trục \(Oz\).
Mặt phẳng \((Oyz)\): Chứa hai trục \(Oy\) và \(Oz\), vuông góc với trục \(Ox\).
Mặt phẳng \((Ozx)\): Chứa hai trục \(Oz\) và \(Ox\), vuông góc với trục \(Oy\).

💡 Quy tắc bàn tay phải: Chiều của ba trục \(Ox, Oy, Oz\) được sắp xếp theo quy tắc bàn tay phải: nếu ngón trỏ chỉ theo hướng \(\vec{i}\), ngón giữa chỉ theo hướng \(\vec{j}\) thì ngón cái chỉ theo hướng \(\vec{k}\).

2. Tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ

📌 Tọa độ của một vectơ:

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho vectơ \(\vec{u}\). Nếu \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\) thì bộ ba số \((x; y; z)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\).

Ký hiệu: \(\vec{u} = (x; y; z)\) hoặc \(\vec{u}(x; y; z)\).

📌 Tọa độ của một điểm:

Tọa độ của điểm \(M\) trong hệ tọa độ \(Oxyz\) là tọa độ của vectơ bán kính \(\overrightarrow{OM}\):

\[ M(x; y; z) \Leftrightarrow \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} \]

Trong đó: \(x\) là hoành độ, \(y\) là tung độ, \(z\) là cao độ của điểm \(M\).

🚀 Tọa độ các điểm đặc biệt:

Gốc tọa độ: \(O(0; 0; 0)\).
Điểm nằm trên các trục tọa độ: \(M \in Ox \Rightarrow M(x; 0; 0)\); \(N \in Oy \Rightarrow N(0; y; 0)\); \(P \in Oz \Rightarrow P(0; 0; z)\).
Điểm nằm trên các mặt phẳng tọa độ: \(A \in (Oxy) \Rightarrow A(x; y; 0)\); \(B \in (Oyz) \Rightarrow B(0; y; z)\); \(C \in (Ozx) \Rightarrow C(x; 0; z)\).

3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ \(\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)\) và \(\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)\) cùng số thực \(k\):

📌 Công thức tính toán tọa độ cơ bản:

Cộng, trừ vectơ: \(\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2; z_1 \pm z_2)\).
Nhân vectơ với một số: \(k\vec{a} = (kx_1; ky_1; kz_1)\).
Hai vectơ bằng nhau: \(\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = x_2 \\ y_1 = y_2 \\ z_1 = z_2 \end{cases}\)
Hai vectơ cùng phương: \(\vec{a}\) cùng phương với \(\vec{b} \ne \vec{0} \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}: \begin{cases} x_1 = kx_2 \\ y_1 = ky_2 \\ z_1 = kz_2 \end{cases}\)

📌 Tọa độ vectơ nối hai điểm, Trung điểm & Trọng tâm:

Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có điểm đầu \(A(x_A; y_A; z_A)\) và điểm cuối \(B(x_B; y_B; z_B)\): \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \]
Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\): \[ x_I = \displaystyle\frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_I = \displaystyle\frac{y_A + y_B}{2}, \quad z_I = \displaystyle\frac{z_A + z_B}{2} \]
Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\): \[ x_G = \displaystyle\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \displaystyle\frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \quad z_G = \displaystyle\frac{z_A + z_B + z_C}{3} \]

4. Biểu thức tọa độ của Tích vô hướng, Độ dài & Góc

Cho hai vectơ \(\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)\) và \(\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)\):

📌 Tích vô hướng của hai vectơ: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \]

📌 Độ dài vectơ & Khoảng cách giữa hai điểm:

Độ dài vectơ \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \]
Khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_A; y_A; z_A)\) và \(B(x_B; y_B; z_B)\): \[ AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]

💡 Góc giữa hai vectơ & Điều kiện vuông góc:

Côn-sin góc giữa hai vectơ \(\vec{a}, \vec{b} \ne \vec{0}\): \[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \displaystyle\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \displaystyle\frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}} \]
Điều kiện hai vectơ vuông góc: \[ \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0 \]

5. Ví dụ minh họa & Bài tập luyện tập

Ví dụ 1 Xác định tọa độ Vectơ & Tính độ dài đoạn thẳng

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1; 2; -1)\), \(B(2; -1; 3)\) và \(C(-4; 7; 5)\).

a) Tìm tọa độ vectơ \(\vec{u} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\).

b) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Lời giải:

a) Ta có:

- \(\overrightarrow{AB} = (2 - 1; -1 - 2; 3 - (-1)) = (1; -3; 4)\).

- \(\overrightarrow{AC} = (-4 - 1; 7 - 2; 5 - (-1)) = (-5; 5; 6)\).

Do đó: \(2\overrightarrow{AB} = (2; -6; 8)\).

suy ra \(\vec{u} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = (2 - (-5); -6 - 5; 8 - 6) = (7; -11; 2)\).

b) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).

Gọi \(D(x_D; y_D; z_D)\). Ta có \(\overrightarrow{AD} = (x_D - 1; y_D - 2; z_D + 1)\).

Và \(\overrightarrow{BC} = (-4 - 2; 7 - (-1); 5 - 3) = (-6; 8; 2)\).

Cho hai vectơ bằng nhau, ta được hệ phương trình:

\[ \begin{cases} x_D - 1 = -6 \\ y_D - 2 = 8 \\ z_D + 1 = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_D = -5 \\ y_D = 10 \\ z_D = 1 \end{cases} \]

Vậy tọa độ điểm \(D\) là \(D(-5; 10; 1)\).

Ví dụ 2 Tính Tích vô hướng & Góc giữa hai vectơ

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{a} = (1; 0; 1)\) và \(\vec{b} = (-1; 1; 0)\). Tính \(\cos(\vec{a}, \vec{b})\) và cho biết góc giữa hai vectơ này.

Lời giải:

1. Tích vô hướng: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -1\).

2. Độ dài các vectơ: \(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) và \(|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\).

3. Tính côn-sin góc giữa hai vectơ:

\[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \displaystyle\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \displaystyle\frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\displaystyle\frac{1}{2} \]

Suy ra góc giữa hai vectơ là \((\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ\).

📝 Bài tập tự luyện:

Bài 1: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(3; -2; 1)\) và \(B(1; 4; -3)\). Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) và tính độ dài đoạn thẳng \(AB\).

Bài 2: Cho ba điểm \(A(1; 0; 0)\), \(B(0; 0; 1)\), \(C(2; 1; 1)\). Chứng minh tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và tính diện tích tam giác \(ABC\).

Bài 3: Tìm điểm \(M\) thuộc trục \(Oy\) sao cho \(M\) cách đều hai điểm \(A(1; -2; 1)\) và \(B(2; 1; -1)\).

6. Ghi nhớ & Tổng kết hệ thống công thức Oxyz

Đại lượng / Phép toán	Công thức tọa độ trong Oxyz	Ghi chú
Vectơ \(\overrightarrow{AB}\)	\((x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)\)	Lấy tọa độ điểm sau trừ điểm trước
Trung điểm đoạn \(AB\)	\(\left(\displaystyle\frac{x_A + x_B}{2}; \displaystyle\frac{y_A + y_B}{2}; \displaystyle\frac{z_A + z_B}{2}\right)\)	Trung bình cộng tọa độ 2 điểm
Trọng tâm tam giác \(ABC\)	\(\left(\displaystyle\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \displaystyle\frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \displaystyle\frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)\)	Trung bình cộng tọa độ 3 điểm
Độ dài đoạn thẳng \(AB\)	\(\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\)	Khoảng cách giữa 2 điểm
Tích vô hướng \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)	\(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\)	Kết quả là một số thực
Điều kiện vuông góc	\(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0\)	\(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)

🎯 Mẹo làm bài trắc nghiệm Hệ tọa độ Oxyz:

Khi điểm nằm trên trục hoặc mặt phẳng tọa độ nào thì các thành phần ứng với trục còn thiếu sẽ bằng \(0\) (Ví dụ: điểm thuộc \((Oxy)\) thì cao độ \(z = 0\)).
Hình chiếu vuông góc của điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) lên mặt phẳng \((Oxy)\) là \(M'(x_0; y_0; 0)\); lên trục \(Ox\) là \(M_x(x_0; 0; 0)\).