GIẢI BÀI TẬP BÀI 7: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)

• Mệnh đề a) đúng: Do giá của ba vectơ đôi một vuông góc, ta hoàn toàn chọn được 3 trục tọa độ vuông góc đôi một song song với giá của chúng.
• Mệnh đề b) đúng: Chọn gốc tọa độ O là giao điểm chung của giá 3 vectơ, khi đó 3 trục Ox, Oy, Oz sẽ trùng với giá của ba vectơ này.
• Mệnh đề c) sai: Vì các vectơ đơn vị i, j, k bắt buộc phải có độ dài bằng 1 (|i| = |j| = |k| = 1), trong khi các vectơ a, b, c có độ dài tùy ý.
• Mệnh đề d) đúng: Các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ luôn cùng phương với đường thẳng chứa giá của ba vectơ vuông góc đôi một đó.

Hệ tọa độ Oxyz được mô tả như sau:

• Gốc tọa độ O: Đặt tại góc trên của căn phòng (nơi giao nhau của trần nhà và hai bức tường).
• Trục Ox: Là mép giao tuyến nằm ngang giữa trần nhà và bức tường treo khung tranh.
• Trục Oy: Là mép giao tuyến thẳng đứng dọc theo góc tường đi xuống dưới. Khi đó, mặt phẳng (Oxy) chứa bức tường treo khung tranh.
• Trục Oz: Là mép giao tuyến nằm ngang giữa trần nhà và bức tường vuông góc với bức tường treo khung tranh. Khi đó, mặt phẳng (Oxz) chứa toàn bộ mặt trần nhà.

Sử dụng công thức tính tọa độ vectơ AB = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A):

a) AB = (4 - 0; 2 - 0; -5 - 0) = (4; 2; -5).

b) AB = (1 - 1; -3 - (-3); 7 - 7) = (0; 0; 0).

c) AB = (-5 - 5; 7 - 4; 2 - 9) = (-10; 3; -7).

a) Do A trùng với gốc tọa độ O nên A(0; 0; 0).

b) Do A nằm trên tia Ox nên y_A = 0, z_A = 0. Vì OA = 2 và A thuộc chiều dương của trục Ox nên x_A = 2. Vậy A(2; 0; 0).

c) Do A nằm trên tia đối của tia Oy nên x_A = 0, z_A = 0. Vì OA = 3 và A thuộc chiều âm của trục Oy nên y_A = -3. Vậy A(0; -3; 0).

Từ hình vẽ và giả thiết, các đỉnh nằm trên các trục tọa độ lần lượt là:

• A ≡ O(0; 0; 0)
• D thuộc trục Ox ⇒ D(2; 0; 0)
• B thuộc trục Oy ⇒ B(0; 4; 0)
• A' thuộc trục Oz ⇒ A'(0; 0; 3)

Xác định tọa độ các đỉnh còn lại:

• Đỉnh C: Nằm trong mặt phẳng (Oxy) có x_C = x_D = 2, y_C = y_B = 4, z_C = 0 ⇒ C(2; 4; 0).
• Đỉnh D': Nằm trong mặt phẳng (Oxz) có x_D' = x_D = 2, y_D' = 0, z_D' = z_A' = 3 ⇒ D'(2; 0; 3).
• Đỉnh B': Nằm trong mặt phẳng (Oyz) có x_B' = 0, y_B' = y_B = 4, z_B' = z_A' = 3 ⇒ B'(0; 4; 3).
• Đỉnh C': Có x_C' = x_C = 2, y_C' = y_C = 4, z_C' = z_A' = 3 ⇒ C'(2; 4; 3).

Gốc tọa độ O(0; 0; 0).

a) Xác định tọa độ điểm C:

Vì OABC là hình bình hành nên OC = AB.
Ta có AB = (0 - 1; 3 - 1; 0 - (-1)) = (-1; 2; 1).
Do OC = (x_C; y_C; z_C) nên C(-1; 2; 1).

b) Xác định tọa độ các đỉnh còn lại (O', A', B'):

Do OABC.O'A'B'C' là hình hộp nên C'C = O'O = A'A = B'B.

Tính C'C = (-1 - 2; 2 - (-3); 1 - 6) = (-3; 5; -5).

• Tìm O': Ta có O'O = (0 - x_O'; 0 - y_O'; 0 - z_O') = (-3; 5; -5)
  ⇒ x_O' = 3, y_O' = -5, z_O' = 5. Vậy O'(3; -5; 5).
• Tìm A': Ta có A'A = (1 - x_A'; 1 - y_A'; -1 - z_A') = (-3; 5; -5)
  ⇒ x_A' = 4, y_A' = -4, z_A' = 4. Vậy A'(4; -4; 4).
• Tìm B': Ta có B'B = (0 - x_B'; 3 - y_B'; 0 - z_B') = (-3; 5; -5)
  ⇒ x_B' = 3, y_B' = -2, z_B' = 5. Vậy B'(3; -2; 5).

Trong Vận dụng 2, mặt phẳng đường băng của sân bay được chọn trùng với mặt phẳng tọa độ (Oxy).

Khi máy bay đang di chuyển trên đường băng, toàn bộ vị trí của nó nằm hoàn toàn trên mặt phẳng (Oxy). Theo tính chất của hệ trục tọa độ Oxyz, mọi điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) đều có cao độ bằng 0 (z = 0).

Do đó, tại mỗi thời điểm máy bay di chuyển trên đường băng, tọa độ của nó luôn có dạng (x; y; 0) với x, y là hai số thực.