GIẢI BÀI TẬP BÀI 6: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)

• Mệnh đề a) đúng: Hai vectơ cùng hướng với vectơ thứ ba thì cùng hướng với nhau.
• Mệnh đề b) đúng: Hai vectơ cùng ngược hướng với vectơ thứ ba thì cùng hướng với nhau.
• Mệnh đề c) và d) sai.

• Độ dài vectơ \(\vec{BB'}\):
  \(|\vec{BB'}| = BB' = AA' = 4\).
• Độ dài vectơ \(\vec{BD}\):
  Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\):
  \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\).
  Do đó \(|\vec{BD}| = \sqrt{13}\).
• Độ dài vectơ \(\vec{BD'}\):
  Xét tam giác \(DBD'\) vuông tại \(B\) (do \(BB' \perp (ABCD)\)):
  \(BD' = \sqrt{BD^2 + DD'^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + 4^2} = \sqrt{13 + 16} = \sqrt{29}\).
  Do đó \(|\vec{BD'}| = \sqrt{29}\).

a)
- Về phương: Do các chân bàn vuông góc với mặt sàn nên các vectơ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\), \(\vec{e}\) đều có phương thẳng đứng (song song hoặc trùng nhau), do đó chúng cùng phương với nhau.
- Về hướng:
+ Vectơ trọng lực \(\vec{a}\) hướng từ trên xuống dưới.
+ Các vectơ phản lực \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\), \(\vec{e}\) hướng từ dưới lên trên.
+ Do đó, các vectơ \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\), \(\vec{e}\) cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ \(\vec{a}\).

b) Các vectơ \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\), \(\vec{e}\) đôi một bằng nhau vì:
- Chúng cùng phương và cùng hướng (từ dưới lên trên).
- Do bàn cân đối và trọng lực phân tán đều qua bốn chân bàn, độ lớn phản lực ở bốn chân bàn là bằng nhau, tức là: \(|\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = |\vec{e}| = \frac{1}{4} |\vec{a}|\).
Các vectơ cùng hướng và có độ dài bằng nhau thì bằng nhau.

a) \(VT = \vec{AB} + \vec{DD'} + \vec{C'D'}\)
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(\vec{AB} = \vec{D'C'}\) và \(\vec{DD'} = \vec{CC'}\).
\(\Rightarrow VT = \vec{D'C'} + \vec{CC'} + \vec{C'D'} = (\vec{D'C'} + \vec{C'D'}) + \vec{CC'} = \vec{0} + \vec{CC'} = \vec{CC'} = VP\) (đpcm).

b) \(VT = \vec{AB} + \vec{CD'} - \vec{CC'}\)
Vì \(\vec{AB} = \vec{DC}\), nên:
\(VT = \vec{DC} + \vec{CD'} - \vec{CC'} = \vec{DD'} - \vec{CC'}\).
Vì \(\vec{DD'} = \vec{CC'}\) nên \(VT = \vec{CC'} - \vec{CC'} = \vec{0} = VP\) (đpcm).

c) \(VT = \vec{BC} - \vec{CC'} + \vec{DC}\)
\(= \vec{BC} + \vec{C'C} + \vec{DC}\)
Vì \(\vec{BC} = \vec{A'D'}\) và \(\vec{DC} = \vec{D'C'}\):
\(VT = \vec{A'D'} + \vec{D'C'} + \vec{C'C} = \vec{A'C'} + \vec{C'C} = \vec{A'C} = VP\) (đpcm).

a) Áp dụng quy tắc hình bình hành cho \(ABB'A'\):
\(\vec{AB'} = \vec{AB} + \vec{AA'} = \vec{b} + \vec{a} = \vec{a} + \vec{b}\).

b) Ta có: \(\vec{B'C} = \vec{AC} - \vec{AB'}\)
\(= \vec{c} - (\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\).

c) Ta có: \(\vec{BC'} = \vec{AC'} - \vec{AB}\)
Mà \(\vec{AC'} = \vec{AC} + \vec{AA'} = \vec{c} + \vec{a}\)
\(\Rightarrow \vec{BC'} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\).

Biến đổi đẳng thức vectơ:

\(\vec{SA} + \vec{SC} = \vec{SB} + \vec{SD}\)
\(\Leftrightarrow \vec{SA} - \vec{SB} = \vec{SD} - \vec{SC}\)
\(\Leftrightarrow \vec{BA} = \vec{CD}\)
\(\Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{DC}\).

Theo định nghĩa, \(\vec{AB} = \vec{DC}\) khi và chỉ khi \(ABCD\) là hình bình hành (hoặc các đỉnh tạo thành hình bình hành \(ABCD\)).

Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \vec{SA} + \vec{SC} = \vec{SB} + \vec{SD}\) (đpcm).

Ta có:

- Do \(M\) nằm trên \(SA\) và \(SM = 2AM\) nên \(\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AS} = -\frac{1}{3}\vec{SA}\).
- Do \(N\) nằm trên \(BC\) và \(CN = 2BN\) nên \(\vec{BN} = \frac{1}{3}\vec{BC}\).

Sử dụng quy tắc chèn điểm:

\(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN}\)
\(= -\vec{AM} + \vec{AB} + \vec{BN}\)
\(= -\left(-\frac{1}{3}\vec{SA}\right) + \vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{BC}\)
\(= \frac{1}{3}\vec{SA} + \frac{1}{3}\vec{BC} + \vec{AB}\)
\(= \frac{1}{3}(\vec{SA} + \vec{BC}) + \vec{AB}\) (đpcm).

Xét khối rubik hình tứ diện đều \(ABCD\) có chiều cao \(h = 8\text{ cm}\) ứng với đỉnh \(A\) hạ xuống mặt phẳng \((BCD)\).

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), suy ra \(AG \perp (BCD)\) và độ dài đoạn thẳng \(AG\) chính là chiều cao của tứ diện, tức \(AG = 8\text{ cm}\).

Trọng tâm \(I\) của khối rubik (tứ diện \(ABCD\)) thoả mãn \(\vec{AI} = 3\vec{IG}\).

Suy ra \(I\) nằm trên đoạn thẳng \(AG\) và chia đoạn \(AG\) theo tỉ lệ: \(AI = 3IG\), do đó:
\(AG = AI + IG = 3IG + IG = 4IG\).

Khoảng cách từ trọng tâm \(I\) của khối rubik đến mặt đáy \((BCD)\) chính là độ dài đoạn thẳng \(IG\):

\(IG = \frac{1}{4}AG = \frac{1}{4} \times 8 = 2\text{ (cm)}\).

Do tứ diện là đều nên khoảng cách từ \(I\) đến cả 4 mặt đều bằng nhau và bằng \(2\text{ cm}\).

Gọi điểm buộc chung của ba sợi dây là \(O\).

Gọi ba lực kéo tác dụng lên ba sợi dây tại \(O\) lần lượt là các vectơ \(\vec{F}_1\), \(\vec{F}_2\), \(\vec{F}_3\).

Do nút buộc \(O\) ở trạng thái đứng yên (cân bằng), theo định luật Niutơn ta có tổng hợp lực tác dụng lên điểm \(O\) bằng \(\vec{0}\):

\(\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{F}_3 = -(\vec{F}_1 + \vec{F}_2)\)

Điều này chứng tỏ vectơ \(\vec{F}_3\) biểu diễn theo hai vectơ \(\vec{F}_1\) và \(\vec{F}_2\), hay ba vectơ \(\vec{F}_1\), \(\vec{F}_2\), \(\vec{F}_3\) đồng phẳng (cùng nằm trong một mặt phẳng chứa hai đường thẳng biểu diễn \(\vec{F}_1\) và \(\vec{F}_2\)).

Vì ba sợi dây được kéo căng theo phương của các lực \(\vec{F}_1\), \(\vec{F}_2\), \(\vec{F}_3\), nên ba sợi dây này cùng nằm trên một mặt phẳng.

a) Giữa \(\vec{AA'}\) và \(\vec{C'C}\):

• Vì \(AA' \parallel CC'\) và \(\vec{C'C}\) có hướng từ \(C'\) đến \(C\) (từ trên xuống dưới), còn \(\vec{AA'}\) có hướng từ \(A\) đến \(A'\) (từ dưới lên trên), nên hai vectơ này ngược hướng.
• Góc giữa hai vectơ: \((\vec{AA'}, \vec{C'C}) = 180^\circ\).
• Tích vô hướng:
  \(\vec{AA'} \cdot \vec{C'C} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{C'C}| \cdot \cos(180^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot (-1) = -4\).

b) Giữa \(\vec{AA'}\) và \(\vec{BC}\):

• Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là lăng trụ đứng nên \(AA' \perp (ABCD) \Rightarrow AA' \perp BC\).
• Góc giữa hai vectơ: \((\vec{AA'}, \vec{BC}) = 90^\circ\).
• Tích vô hướng:
  \(\vec{AA'} \cdot \vec{BC} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0\).

c) Giữa \(\vec{AC}\) và \(\vec{B'A'}\):

• Ta có \(\vec{B'A'} = \vec{BA}\). Khi đó: \((\vec{AC}, \vec{B'A'}) = (\vec{AC}, \vec{BA})\).
• Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(1 \Rightarrow AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
• Trong tam giác vuông \(ABC\) cân tại \(B\), góc \(\widehat{BAC} = 45^\circ\).
• Ta biến đổi góc giữa hai vectơ có chung gốc \(A\): \((\vec{AC}, \vec{BA}) = 180^\circ - (\vec{AC}, \vec{AB}) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).
• Tích vô hướng:
  \(\vec{AC} \cdot \vec{B'A'} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{B'A'}| \cdot \cos(135^\circ) = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1\).

Theo giả thiết: \(|\vec{a}| = 1\), \(|\vec{b}| = 1\) và \((\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ\).

a) Tính \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 45^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

b) Tính \((\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})\):

\((\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{a}^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 3\vec{a}\cdot\vec{b} - 6\vec{b}^2\)
\(= |\vec{a}|^2 + \vec{a}\cdot\vec{b} - 6|\vec{b}|^2\)
\(= 1^2 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 \cdot 1^2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 = \frac{\sqrt{2}}{2} - 5\).

c) Tính \((\vec{a} + \vec{b})^2\):

\((\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}^2\)
\(= |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2\)
\(= 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 2 + \sqrt{2}\).

a) Chứng minh \(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AC} \cdot \vec{CD} - \vec{BC} \cdot \vec{CD}\):

Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ, ta có: \(\vec{AB} = \vec{AC} - \vec{BC}\).

Thay vào vế trái (\(VT\)):
\(VT = \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (\vec{AC} - \vec{BC}) \cdot \vec{CD} = \vec{AC} \cdot \vec{CD} - \vec{BC} \cdot \vec{CD} = VP\) (đpcm).

b) Chứng minh \(\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{AC} \cdot \vec{DB} + \vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0\):

Biểu diễn các vectơ qua vectơ gốc \(A\):

• \(\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC}\)
• \(\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}\)
• \(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}\)

Thay vào vế trái (\(VT\)):

\(VT = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AC}) + \vec{AC} \cdot (\vec{AB} - \vec{AD}) + \vec{AD} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})\)
\(= \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AC} \cdot \vec{AB} - \vec{AC} \cdot \vec{AD} + \vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AB}\)
\(= (\vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AD} \cdot \vec{AB}) + (\vec{AC} \cdot \vec{AB} - \vec{AB} \cdot \vec{AC}) + (\vec{AD} \cdot \vec{AC} - \vec{AC} \cdot \vec{AD})\)
\(= 0 + 0 + 0 = 0 = VP\) (đpcm).