Mind Map

BÀI 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với một vectơ

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

3. Vận dụng

Ví dụ – Tọa độ vectơ và điểm

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

I. Tìm tọa độ vectơ thứ tư thỏa mãn đẳng thức liên hệ

Ví dụ 1Đề bài

Cho các vectơ $\vec{a}(1;2;3)$, $\vec{b}(2;-1;1)$, $\vec{c}(-1;0;4)$ thỏa mãn $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$. Hãy tìm tọa độ của $\vec{d}$.

Lời giải: Từ đẳng thức ta có $\vec{d} = -(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$. $$\vec{d} = -( (1+2-1);\,(2-1+0);\,(3+1+4) ) = -(2;\,1;\,8) = (-2;\,-1;\,-8).$$ Vậy $\vec{d}(-2;\,-1;\,-8)$.

Ví dụ 2Đề bài

Cho $\vec{a}(2;-1;0)$, $\vec{b}(1;3;2)$, $\vec{c}(-2;1;1)$ và $\vec{d}$ thỏa mãn $2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \vec{d}$. Hãy tìm tọa độ của $\vec{d}$.

Lời giải: $$\vec{d} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = 2(2;-1;0) - (1;3;2) + (-2;1;1)$$ $$= (4;-2;0) - (1;3;2) + (-2;1;1) = (1;\,-4;\,-1).$$ Vậy $\vec{d}(1;\,-4;\,-1)$.

II. Tính góc giữa hai vectơ

Ví dụ 3Đề bài

Cho hai vectơ $\vec{a}(1;2;2)$ và $\vec{b}(2;0;1)$. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Lời giải: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot2 + 2\cdot0 + 2\cdot1 = 4$. $|\vec{a}| = \sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$, $|\vec{b}| = \sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt{5}$. $$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{4}{3\sqrt{5}} \Rightarrow \theta = \arccos\!\left(\frac{4}{3\sqrt{5}}\right).$$

III. Tam giác – Tính chu vi và góc

Ví dụ 4Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(2;3)$. Hãy tính chu vi tam giác và góc $\widehat{A}$.

Lời giải: $$AB=4,\quad AC=\sqrt{(2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13},\quad BC=\sqrt{(4-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{13}.$$ Chu vi $P = 4 + 2\sqrt{13}$. $\cos A = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} = \frac{16+13-13}{2\cdot4\cdot\sqrt{13}}=\frac{16}{8\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}.$ $\Rightarrow \widehat{A}=\arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt{13}}\right).$

IV. Tam giác – Tìm trung điểm, trọng tâm, điểm tạo hình bình hành

Ví dụ 5Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $A(1;2)$, $B(5;4)$, $C(3;8)$. Hãy tìm tọa độ trung điểm $M$ của $BC$, trọng tâm $G$ của tam giác và điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

Lời giải: Trung điểm $M$ của $BC$: $$M\left(\frac{5+3}{2};\frac{4+8}{2}\right)=(4;6).$$ Trọng tâm $G$: $$G\left(\frac{1+5+3}{3};\frac{2+4+8}{3}\right)=\left(3;\frac{14}{3}\right).$$ Với $ABCD$ là hình bình hành $\Rightarrow \vec{AD} = \vec{BC}$. $\Rightarrow D = A + \vec{BC} = A + (C - B) = (1;2) + (3-5;8-4) = (-1;6).$ Vậy $D(-1;6)$.

V. Bài toán mã hóa tọa độ

Ví dụ 6Đề bài

Trong hệ tọa độ, mỗi điểm $M(x;y)$ được mã hóa thành số $N = 3x + 2y$. Biết điểm $A(1;2)$ và $B(4;-1)$. Hãy tính mã của $A$ và $B$, sau đó tìm toạ độ điểm $C$ biết $N_C = 12$.

Lời giải: Với $A(1;2)$: $N_A = 3\cdot1 + 2\cdot2 = 7$. Với $B(4;-1)$: $N_B = 3\cdot4 + 2\cdot(-1) = 10$. Để $N_C=12$, ta có $3x + 2y = 12$. Chẳng hạn, nếu $x=2$ thì $2y=6\Rightarrow y=3$. Vậy một điểm thỏa là $C(2;3)$ (hoặc vô số điểm khác trên đường thẳng $3x+2y=12$).