BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I - TOÁN 12 (KNTT)

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I - TOÁN 12

CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (KNTT)

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (12 CÂU)

Câu 1 (Nhận biết - Tính đơn điệu & Cực trị): Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; 1)\) B. Hàm số đồng biến trên khoảng \((1; +\infty)\) C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty; 1)\) D. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết:
Vì \(f'(x) > 0\) trên \((-\infty; 1)\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; 1)\).
Đáp án đúng: A

Câu 2 (Nhận biết - Tính đơn điệu & Cực trị): Cho hàm số \(y = f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_0 = 2\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(f'(2) > 0\) B. \(x_0 = 2\) là điểm cực tiểu của hàm số C. \(f(2)\) là điểm cực tiểu của hàm số D. Hàm số không có đạo hàm tại \(x=2\)

Lời giải chi tiết:
\(x_0 = 2\) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.
Đáp án đúng: B

Câu 3 (Thông hiểu - Tính đơn điệu & Cực trị): Tìm các khoảng đồng biến của hàm số \(y = x^3 - 3x\).

A. \((-1; 1)\) B. \((-\infty; -1)\) C. \((-\infty; -1)\) và \((1; +\infty)\) D. \((-\infty; 1)\)

Lời giải chi tiết:
Ta có \(y' = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Lập bảng xét dấu \(y'\): \(y' > 0\) khi \(x < -1\) hoặc \(x > 1\).
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((1; +\infty)\).
Đáp án đúng: C

Câu 4 (Nhận biết - GTLN & GTNN): Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \([a; b]\). Mệnh đề nào sau đây luôn đúng?

A. Hàm số không đạt GTLN trên \([a; b]\) B. GTLN luôn đạt tại điểm cực đại C. GTNN luôn đạt tại hai đầu mốt \(a\) hoặc \(b\) D. Hàm số luôn có GTLN và GTNN trên đoạn \([a; b]\)

Lời giải chi tiết:
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đóng \([a; b]\) đều luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Đáp án đúng: D

Câu 5 (Nhận biết - GTLN & GTNN): Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị trên đoạn \([-1; 3]\) như hình vẽ sau

Giá trị lớn nhất của hàm số trên \([-1; 3]\) là:

A. \(\max_{[-1; 3]} f(x) = 3\) B. \(\max_{[-1; 3]} f(x) = 5\) C. \(\max_{[-1; 3]} f(x) = -1\) D. \(\max_{[-1; 3]} f(x) = 0\)

Lời giải chi tiết:
Giá trị lớn nhất của hàm số ứng với tung độ điểm cao nhất trên đồ thị, do đó \(\max_{[-1; 3]} f(x) = 5\).
Đáp án đúng: B

Câu 6 (Thông hiểu - GTLN & GTNN): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 3\) trên đoạn \([0; 2]\).

A. \(\min_{[0; 2]} y = 2\) B. \(\min_{[0; 2]} y = 3\) C. \(\min_{[0; 2]} y = 11\) D. \(\min_{[0; 2]} y = 0\)

Lời giải chi tiết:
\(y' = 4x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 1\) (thuộc \([0; 2]\)), \(x = -1\) (loại).
Tính các giá trị: \(y(0) = 3\), \(y(1) = 2\), \(y(2) = 11\).
Vậy giá trị nhỏ nhất là \(2\) tại \(x = 1\).
Đáp án đúng: A

Câu 7 (Nhận biết - Tiệm cận): Đường thẳng \(x = x_0\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu điều kiện nào sau đây xảy ra?

A. \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = x_0\) B. \(\lim_{x \to x_0} f(x) = 0\) C. \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty\) D. \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = x_0\)

Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(x = x_0\) là tiệm cận đứng nếu ít nhất một trong các giới hạn một bên khi \(x \to x_0\) bằng \(\pm \infty\).
Đáp án đúng: C

Câu 8 (Nhận biết - Tiệm cận): Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x + 1}\) là đường thẳng:

A. \(y = -1\) B. \(x = 2\) C. \(x = -1\) D. \(y = 2\)

Lời giải chi tiết:
\(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 1}{x + 1} = 2 \Rightarrow y = 2\) là tiệm cận ngang.
Đáp án đúng: D

Câu 9 (Thông hiểu - Tiệm cận): Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 1}{x^2 - 1}\) là:

A. 2 B. 3 C. 1 D. 0

Lời giải chi tiết:
Rút gọn: \(y = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1}\) (với \(x \ne -1\)).
- Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm \infty} y = 0 \Rightarrow y = 0\).
- Tiệm cận đứng: \(\lim_{x \to 1^+} y = +\infty \Rightarrow x = 1\).
Tổng số đường tiệm cận là 2.
Đáp án đúng: A

Câu 10 (Nhận biết - Khảo sát hàm số): Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình vẽ bên dưới?

A. \(y = -x^3 + 3x\) B. \(y = x^4 - 2x^2\) C. \(y = x^3 - 3x + 1\) D. \(y = \frac{x+1}{x-1}\)

Lời giải chi tiết:
Đồ thị hàm số bậc ba với nhánh cuối đi lên khi \(x \to +\infty\) có hệ số \(a > 0\), tương ứng với \(y = x^3 - 3x + 1\).
Đáp án đúng: C

Câu 11 (Nhận biết - Khảo sát hàm số): Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x + 1}{x - 1}\) là điểm:

A. \(I(-1; 2)\) B. \(I(1; 2)\) C. \(I(2; 1)\) D. \(I(1; -1)\)

Lời giải chi tiết:
Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận ngang \(y = 2\), suy ra \(I(1; 2)\).
Đáp án đúng: B

Câu 12 (Thông hiểu - Khảo sát hàm số): Đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}\) có đường tiệm cận xiên là:

A. \(y = x + 1\) B. \(y = -x+1\) C. \(y = -x\) D. \(y = x\)

Lời giải chi tiết:
Biến đổi: \(y = \frac{x(x-1) + 1}{x-1} = x + \frac{1}{x-1}\).
Vì \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x-1} = 0\) nên tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x\).
Đáp án đúng: D

PHẦN II: TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4 CÂU)

Câu 1 (Thông hiểu - Tính đơn điệu & Cực trị): Cho hàm số \(y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\). Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; 2)\)
b	Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(A(0; 2)\)
c	Giá trị cực tiểu của hàm số là \(y_{CT} = -2\)
d	Hàm số nghịch biến trên \((-\infty; 0)\)

Lời giải chi tiết:
\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
- Hàm số nghịch biến trên \((0; 2)\) và đồng biến trên \((-\infty; 0)\), \((2; +\infty)\).
a) **SAI**: Hàm số nghịch biến trên \((0; 2)\).
b) **ĐÚNG**: Cực đại tại \(x=0 \Rightarrow y=2 \Rightarrow A(0; 2)\).
c) **ĐÚNG**: Cực tiểu tại \(x=2 \Rightarrow y = 2^3 - 3(2^2) + 2 = -2\).
d) **SAI**: Hàm số đồng biến trên \((-\infty; 0)\).
Đáp án: a-S, b-Đ, c-Đ, d-S

Câu 2 (Thông hiểu - GTLN & GTNN): Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}\) trên đoạn \([3; 5]\). Xét tính đúng/sai:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Hàm số liên tục và nghịch biến trên đoạn \([3; 5]\)
b	Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([3; 5]\) bằng 4
c	Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([3; 5]\) bằng 4
d	\(\max_{[3; 5]} f(x) + \min_{[3; 5]} f(x) = 5\)

Lời giải chi tiết:
\(f'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2} < 0\) với mọi \(x \in [3; 5]\).
- \(f(3) = 4\) (GTLN), \(f(5) = 2\) (GTNN).
a) **ĐÚNG**: \(f'(x) < 0\) nên nghịch biến trên đoạn \([3; 5]\).
b) **SAI**: GTNN bằng 2.
c) **ĐÚNG**: GTLN bằng \(f(3) = 4\).
d) **SAI**: Tổng \(\max + \min = 4 + 2 = 6 \ne 5\).
Đáp án: a-Đ, b-S, c-Đ, d-S

Câu 3 (Thông hiểu - Tiệm cận): Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{2x^2 - x + 1}{x + 1}\). Xét tính đúng/sai:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = -1\)
b	Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\)
c	Phương trình tiệm cận xiên của đồ thị là \(y = 2x + 1\)
d	Giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ là \(I(-1; -5)\)

Lời giải chi tiết:
Biến đổi: \(y = 2x - 3 + \frac{4}{x+1}\).
- Tiệm cận đứng: \(x = -1\). Tiệm cận xiên: \(y = 2x - 3\). Không có tiệm cận ngang.
a) **ĐÚNG**: Tiệm cận đứng \(x = -1\).
b) **SAI**: Đồ thị không có tiệm cận ngang vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu.
c) **SAI**: Tiệm cận xiên là \(y = 2x - 3\).
d) **ĐÚNG**: Thay \(x = -1\) vào tiệm cận xiên \(y = 2(-1) - 3 = -5 \Rightarrow I(-1; -5)\).
Đáp án: a-Đ, b-S, c-S, d-Đ

Câu 4 (Thực tế - Ứng dụng đạo hàm): Một hộp quà có dạng hình hộp chữ nhật không nắp với đáy là hình vuông cạnh \(x\) (cm) và chiều cao \(h\) (cm). Biết thể tích của hộp quà bằng \(500 \text{ cm}^3\). Xét tính đúng/sai:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Diện tích toàn phần của hộp quà không nắp là \(S(x) = x^2 + 2xh\)
b	Mối liên hệ giữa chiều cao \(h\) và cạnh đáy \(x\) là \(h = \frac{500}{x^2}\)
c	Diện tích nguyên vật liệu dùng làm hộp quà bé nhất khi \(x = 5 \text{ cm}\)
d	Diện tích nguyên vật liệu nhỏ nhất bằng \(300 \text{ cm}^2\)

Lời giải chi tiết:
Thể tích \(V = x^2 h = 500 \Rightarrow h = \frac{500}{x^2}\).
Diện tích hộp không nắp gồm 1 đáy và 4 mặt bên: \(S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{2000}{x}\).
\(S'(x) = 2x - \frac{2000}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2x^3 = 2000 \Leftrightarrow x = 10 \text{ cm}\).
- Khi \(x = 10 \Rightarrow S_{min} = 10^2 + \frac{2000}{10} = 300 \text{ cm}^2\).
a) **SAI**: Diện tích là \(x^2 + 4xh\).
b) **ĐÚNG**: \(h = \frac{500}{x^2}\).
c) **SAI**: Diện tích nhỏ nhất khi \(x = 10 \text{ cm}\).
d) **ĐÚNG**: \(S_{min} = 300 \text{ cm}^2\).
Đáp án: a-S, b-Đ, c-S, d-Đ

PHẦN III: TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (6 CÂU)

Câu 1 (Thông hiểu - Tính đơn điệu & Cực trị): Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1\). Giá trị cực đại của hàm số bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
\(y' = x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).
Bảng biến thiên cho thấy điểm cực đại là \(x = 1\).
Giá trị cực đại: \(y_{CĐ} = y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) + 1 = \frac{7}{3}\).
Kết quả: 7/3 (hoặc 2.33)

Câu 2 (Thực tế - GTLN & GTNN): Một nhà sản xuất muốn làm một chiếc hộp hình trụ có thể tích \(1000\pi \text{ cm}^3\). Tìm bán kính đáy \(R\) (cm) để diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Thể tích \(V = \pi R^2 h = 1000\pi \Rightarrow h = \frac{1000}{R^2}\).
Diện tích toàn phần: \(S_{tp} = 2\pi R^2 + 2\pi R h = 2\pi R^2 + \frac{2000\pi}{R}\).
\(S'(R) = 4\pi R - \frac{2000\pi}{R^2} = 0 \Leftrightarrow 4\pi R^3 = 2000\pi \Leftrightarrow R^3 = 500 \Rightarrow R = 10 \text{ cm}\).
Kết quả: 10

Câu 3 (Thực tế - Tiệm cận): Nồng độ của một loại thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm \(t\) giờ được cho bởi công thức \(C(t) = \frac{3t}{t^2 + 2}\) (mg/L). Giới hạn của nồng độ thuốc trong máu khi thời gian \(t\) kéo dài vô hạn (\(t \to +\infty\)) bằng bao nhiêu mg/L?

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Ta cần tính \(\lim_{t \to +\infty} C(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{3t}{t^2 + 2}\).
Chia cả tử và mẫu cho \(t^2\): \(\lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{3}{t}}{1 + \frac{2}{t^2}} = 0\).
Vậy khi thời gian kéo dài vô hạn, nồng độ thuốc tiến về 0 mg/L.
Kết quả: 0

Câu 4 (Thông hiểu - Khảo sát hàm số): Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x^3 - 3x + 2\) với trục hoành tại điểm có hoành độ dương.

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^3 - 3x + 2 = 0\).
\(\Leftrightarrow (x - 1)^2 (x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = -2\).
Hoành độ giao điểm dương là \(x = 1\).
Kết quả: 1

Câu 5 (Thực tế - Ứng dụng đạo hàm): Chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm của một công ty là \(C(x) = 2x^2 + 40x + 800\) (nghìn đồng). Giá bán trung bình của mỗi sản phẩm là 120 nghìn đồng. Công ty cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Doanh thu khi bán \(x\) sản phẩm: \(R(x) = 120x\) (nghìn đồng).
Hàm lợi nhuận: \(P(x) = R(x) - C(x) = 120x - (2x^2 + 40x + 800) = -2x^2 + 80x - 800\).
Đạo hàm: \(P'(x) = -4x + 80 = 0 \Leftrightarrow x = 20\).
Vì \(P''(x) = -4 < 0\) nên lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 20\) sản phẩm.
Kết quả: 20

Câu 6 (Thực tế - Ứng dụng đạo hàm): Một ô tô di chuyển với phương trình quãng đường \(s(t) = -t^3 + 9t^2 + 12t\) (với \(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Vận tốc lớn nhất của ô tô trong khoảng thời gian chuyển động đạt được tại thời điểm \(t\) bằng bao nhiêu giây?

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Phương trình vận tốc: \(v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t + 12\).
Xét hàm vận tốc \(v(t)\): \(v'(t) = -6t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 3\) giây.
Vì đồ thị \(v(t)\) là parabol quay bề lõm xuống dưới nên vận tốc đạt cực đại tại \(t = 3\) giây.
Kết quả: 3