Giải Bài Tập Cuối Chương I (Phần Tự Luận) - Toán 12 KNTT

GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC Bài tập cuối chương I - B. Tự luận (Trang 43 - 44)

Bài 1.40: Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
  1. \(y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\)
  2. \(y = x^4 - 2x^2 - 1\)
  3. \(y = \dfrac{2x - 1}{3x + 1}\)
  4. \(y = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}\)
Lời giải:
  • a) \(y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\)
    Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
    \(y' = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
    Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
  • b) \(y = x^4 - 2x^2 - 1\)
    Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
    \(y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}\right.\)
    - \(x \in (-\infty; -1)\) và \((0; 1)\): \(y' < 0\) \(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến.
    - \(x \in (-1; 0)\) và \((1; +\infty)\): \(y' > 0\) \(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến.
    - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm 1\), \(y_{CT} = -2\); đạt cực đại tại \(x = 0\), \(y_{CĐ} = -1\).
  • c) \(y = \dfrac{2x - 1}{3x + 1}\)
    Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{3}\right\}\).
    \(y' = \dfrac{2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3}{(3x + 1)^2} = \dfrac{5}{(3x + 1)^2} > 0, \forall x \neq -\dfrac{1}{3}\).
    Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left(-\infty; -\dfrac{1}{3}\right)\) và \(\left(-\dfrac{1}{3}; +\infty\right)\). Hàm số không có cực trị.
  • d) \(y = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = x - 1 + \dfrac{1}{x - 1}\)
    Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
    \(y' = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 1)^2 - 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}\right.\)
    - Hàm số đồng biến trên \((-\infty; 0)\) và \((2; +\infty)\).
    - Hàm số nghịch biến trên \((0; 1)\) và \((1; 2)\).
    - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), \(y_{CĐ} = -2\); đạt cực tiểu tại \(x = 2\), \(y_{CT} = 2\).
Bài 1.41: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
  1. \(y = \dfrac{2x + 1}{3x - 2}\) trên nửa khoảng \([2; +\infty)\);
  2. \(y = \sqrt{2 - x^2}\).
Lời giải:
  • a) \(y = \dfrac{2x + 1}{3x - 2}\) trên \([2; +\infty)\)
    \(y' = \dfrac{-7}{(3x - 2)^2} < 0, \forall x \ge 2\). Do đó hàm số nghịch biến trên \([2; +\infty)\).
    - Giá trị lớn nhất: \(\max_{[2; +\infty)} y = y(2) = \dfrac{5}{4}\).
    - \(\lim_{x \to +\infty} y = \dfrac{2}{3}\). Vì hàm số luôn lớn hơn \(\dfrac{2}{3}\) và tiến dần tới \(\dfrac{2}{3}\) khi \(x \to +\infty\) nên không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên \([2; +\infty)\).
  • b) \(y = \sqrt{2 - x^2}\)
    Tập xác định: \(D = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]\).
    \(y' = \dfrac{-x}{\sqrt{2 - x^2}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
    Tính các giá trị: \(y(-\sqrt{2}) = 0\), \(y(0) = \sqrt{2}\), \(y(\sqrt{2}) = 0\).
    - \(\max_D y = \sqrt{2}\) tại \(x = 0\).
    - \(\min_D y = 0\) tại \(x = \pm\sqrt{2}\).
Bài 1.42: Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:
  1. \(y = \dfrac{3x - 2}{x + 1}\)
  2. \(y = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{2x - 1}\)
Lời giải:
  • a) \(y = \dfrac{3x - 2}{x + 1}\)
    - \(\lim_{x \to -1^+} y = -\infty\) (hoặc \(\lim_{x \to -1^-} y = +\infty\)) \(\Rightarrow\) Tiệm cận đứng: \(x = -1\).
    - \(\lim_{x \to \pm\infty} y = 3\) \(\Rightarrow\) Tiệm cận ngang: \(y = 3\).
  • b) \(y = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{2x - 1} = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{4} + \dfrac{1/4}{2x - 1}\)
    - \(\lim_{x \to (1/2)^+} y = +\infty\) \(\Rightarrow\) Tiệm cận đứng: \(x = \dfrac{1}{2}\).
    - \(\lim_{x \to \pm\infty} \left[ y - \left(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{4}\right) \right] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{4(2x - 1)} = 0\) \(\Rightarrow\) Tiệm cận xiên: \(y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{4}\).
Bài 1.43: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
  1. \(y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 12\)
  2. \(y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}\)
  3. \(y = \dfrac{x^2 - 2x}{x - 1}\)
Lời giải tóm tắt sơ đồ khảo sát:
  • a) \(y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 12\)
    - TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
    - Sự biến thiên: \(y' = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x - 1)(x - 3)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).
    - Giới hạn: \(\lim_{x \to -\infty} y = +\infty\), \(\lim_{x \to +\infty} y = -\infty\).
    - Hàm số nghịch biến trên \((-\infty; 1)\) và \((3; +\infty)\); đồng biến trên \((1; 3)\).
    - Cực trị: Cực tiểu tại \(x = 1, y_{CT} = 8\); Cực đại tại \(x = 3, y_{CĐ} = 12\).
    - Đồ thị: Cắt trục tung tại \((0; 12)\), đi qua điểm uốn \((2; 10)\).
  • b) \(y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}\)
    - TXĐ: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
    - Sự biến thiên: \(y' = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0, \forall x \neq -1\). Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
    - Tiệm cận: TCĐ \(x = -1\), TCN \(y = 2\).
    - Đồ thị: Giao trục tung tại \((0; -1)\), giao trục hoành tại \(\left(\dfrac{1}{2}; 0\right)\), tâm đối kháng \(I(-1; 2)\).
  • c) \(y = \dfrac{x^2 - 2x}{x - 1} = x - 1 - \dfrac{1}{x - 1}\)
    - TXĐ: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
    - Sự biến thiên: \(y' = 1 + \dfrac{1}{(x - 1)^2} > 0, \forall x \neq 1\). Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng \((-\infty; 1)\) và \((1; +\infty)\). Không có cực trị.
    - Tiệm cận: TCĐ \(x = 1\), TCX \(y = x - 1\).
    - Đồ thị: Giao trục tung tại \((0; 0)\), giao trục hoành tại \((0; 0)\) và \((2; 0)\), tâm đối xứng \(I(1; 0)\).
Bài 1.44: Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự \(f\) (H.1.39). Khoảng cách \(p\) từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách \(q\) từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f}\).
  1. Viết công thức tính \(q = g(p)\) như một hàm số của biến \(p \in (f; +\infty)\).
  2. Tính các giới hạn \(\lim_{p \to +\infty} g(p)\); \(\lim_{p \to f^+} g(p)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
  3. Lập bảng biến thiên của hàm số \(q = g(p)\) trên khoảng \((f; +\infty)\).
Lời giải:
  • a) Từ \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f} \Rightarrow \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{p - f}{pf} \Rightarrow q = g(p) = \dfrac{fp}{p - f}\).
  • b)
    - \(\lim_{p \to +\infty} g(p) = \lim_{p \to +\infty} \dfrac{fp}{p - f} = f\): Khi vật ở rất xa thấu kính (ở vô cực), ảnh thật của vật sẽ xuất hiện ngay tại tiêu điểm ảnh chính \(F'\) (cách thấu kính khoảng \(f\)).
    - \(\lim_{p \to f^+} g(p) = \lim_{p \to f^+} \dfrac{fp}{p - f} = +\infty\): Khi vật tiến gần sát đến tiêu điểm vật \(F\), ảnh thật sẽ lùi ra rất xa ở vô cực.
  • c) Bảng biến thiên:
    \(g'(p) = \dfrac{-f^2}{(p - f)^2} < 0, \forall p > f\).

    Hàm số nghịch biến trên khoảng \((f; +\infty)\). Khi \(p\) tăng từ \(f^+\) đến \(+\infty\), \(q\) giảm liên tục từ \(+\infty\) về \(f\).

Bài 1.45: Dân số của một quốc gia sau \(t\) (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: \[N(t) = 100e^{0,012t} \quad (N(t) \text{ được tính bằng triệu người}, 0 \le t \le 50).\]
  1. Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).
  2. Xem \(N(t)\) là hàm số của biến số \(t\) xác định trên đoạn \([0; 50]\). Xét chiều biến thiên của hàm số \(N(t)\) trên đoạn \([0; 50]\).
  3. Đạo hàm của hàm số \(N(t)\) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm?
Lời giải:
  • a)
    - Năm 2030 tương ứng với \(t = 2030 - 2023 = 7\):
    \(N(7) = 100e^{0,012 \times 7} = 100e^{0,084} \approx 108,763\) (triệu người).
    - Năm 2035 tương ứng với \(t = 2035 - 2023 = 12\):
    \(N(12) = 100e^{0,012 \times 12} = 100e^{0,144} \approx 115,488\) (triệu người).
  • b)
    Đạo hàm: \(N'(t) = 100 \times 0,012e^{0,012t} = 1,2e^{0,012t}\).
    Vì \(e^{0,012t} > 0, \forall t \in [0; 50]\) nên \(N'(t) > 0, \forall t \in [0; 50]\).
    Do đó, hàm số \(N(t)\) đồng biến trên đoạn \([0; 50]\).
  • c)
    Tốc độ tăng dân số bằng 1,6 triệu người/năm nên:
    \(N'(t) = 1,6 \Leftrightarrow 1,2e^{0,012t} = 1,6 \Leftrightarrow e^{0,012t} = \dfrac{1,6}{1,2} = \dfrac{4}{3}\).
    \(\Rightarrow 0,012t = \ln\left(\dfrac{4}{3}\right) \Rightarrow t = \dfrac{\ln(4/3)}{0,012} \approx 23,97\) (năm).
    Năm cần tìm là: \(2023 + 24 = 2047\). Vậy vào năm 2047, tốc độ tăng dân số đạt khoảng 1,6 triệu người/năm.
Bài 1.46 (Trang 44): Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện ở \(A\) đến hòn đảo ở \(C\). Khoảng cách từ \(C\) đến bờ biển tại \(B\) là \(4\text{ km}\). Bờ biển chạy thẳng từ \(A\) đến \(B\) có chiều dài \(10\text{ km}\). Chi phí lắp đặt cáp điện dưới biển là 50 triệu đồng/km, còn trên đất liền là 30 triệu đồng/km. Xác định vị trí điểm \(M\) trên đoạn \(AB\) (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) sao cho tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
  • Bước 1: Đặt biến và xác định điều kiện
    Gọi độ dài đoạn đường dây điện chạy trên bờ biển từ \(B\) đến điểm chuyển tiếp \(M\) là \(x\text{ (km)}\).
    Do điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(AB\) dài \(10\text{ km}\) nên điều kiện xác định của biến là \(0 \le x \le 10\).
  • Bước 2: Xây dựng hàm tổng chi phí
    - Độ dài đoạn dây cáp đi trên đất liền \(AM\):
    \[AM = AB - BM = 10 - x \quad (\text{km}).\] - Độ dài đoạn dây cáp đi dưới biển \(MC\) (xét tam giác vuông \(CBM\)):
    \[MC = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{4^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 16} \quad (\text{km}).\] - Hàm tổng chi phí thực hiện dự án \(f(x)\) (đơn vị: triệu đồng):
    \[f(x) = 50 \cdot \sqrt{x^2 + 16} + 30 \cdot (10 - x) \quad (\text{với } 0 \le x \le 10).\]
  • Bước 3: Tìm điểm cực trị của hàm chi phí
    Lấy đạo hàm của hàm số \(f(x)\):
    \[f'(x) = 50 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} - 30.\] Giải phương trình \(f'(x) = 0\):
    \[\frac{50x}{\sqrt{x^2 + 16}} = 30 \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{x^2 + 16}.\] Bình phương hai vế (do \(x \ge 0\)):
    \[25x^2 = 9(x^2 + 16) \Leftrightarrow 16x^2 = 144 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \quad (\text{thỏa mãn } 0 \le x \le 10).\]
  • Bước 4: So sánh chi phí tại các mút đoạn và điểm tối ưu
    Tính giá trị hàm số tại các điểm cần xét:
    - Với \(x = 0\): \(f(0) = 50\sqrt{16} + 30(10) = 200 + 300 = 500\) (triệu đồng).
    - Với \(x = 3\): \(f(3) = 50\sqrt{3^2 + 16} + 30(10 - 3) = 50 \cdot 5 + 30 \cdot 7 = 460\) (triệu đồng).
    - Với \(x = 10\): \(f(10) = 50\sqrt{10^2 + 16} + 30(0) = 50\sqrt{116} \approx 538,52\) (triệu đồng).
    Do đó, chi phí thấp nhất thu được là \(460\) triệu đồng khi \(x = 3\).
  • Bước 5: Kết luận
    Để tổng chi phí lắp đặt đường dây điện là nhỏ nhất, vị trí điểm \(M\) cần chọn nằm trên đoạn \(AB\) sao cho cách điểm \(B\) một khoảng \(3\text{ km}\) (tức là cách nhà máy điện ở \(A\) một khoảng \(7\text{ km}\)).
Giải Bài Tập Cuối Chương I (Phần Tự Luận) - Toán 12 KNTT