BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I (PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM) SGK Toán 12 - Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống

• Định lí về định chiều biến thiên: Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in (a; b)\) thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng \((a; b)\).
• Điều kiện \(f'(x) \ge 0\) chỉ đủ để kết luận hàm số đồng biến khi dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
\(\Rightarrow\) Chọn đáp án B.

• Xét hàm số ở phương án A: \(y = -x^3 + 3x^2 - 9x\).
  Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
  Đạo hàm: \(y' = -3x^2 + 6x - 9 = -3(x^2 - 2x + 3) = -3[(x-1)^2 + 2] < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
  Do \(y' < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
\(\Rightarrow\) Chọn đáp án A.

• Xét hàm số đơn điệu bậc nhất trên bậc nhất ở phương án D: \(y = \frac{2x-1}{x+1}\).
  Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
  Đạo hàm: \(y' = \frac{2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0\) với mọi \(x \ne -1\).
  Vì đạo hàm luôn dương trên từng khoảng xác định nên hàm số không có điểm cực trị.
\(\Rightarrow\) Chọn đáp án D.

• Tập xác định: \(D = (0; +\infty)\).
• Đạo hàm: \(y' = (x^2)' \ln x + x^2 (\ln x)' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x = x(2\ln x + 1)\).
• Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x(2\ln x + 1) = 0 \Leftrightarrow{x > 0} 2\ln x + 1 = 0 \Leftrightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}\).
• Đổi dấu \(y'\): Qua điểm \(x = \frac{1}{\sqrt{e}}\), \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương nên đây là điểm cực tiểu.
• Giá trị cực tiểu là: \(y\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 \ln\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e}\).
\(\Rightarrow\) Chọn đáp án C.

• Đạo hàm: \(y' = 2(x - 2)e^x + (x - 2)^2 e^x = (x - 2)e^x (2 + x - 2) = x(x - 2)e^x\).
• Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x(x - 2)e^x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \notin [1; 3] \\ x = 2 \in [1; 3] \end{array}\right.\)
• Tính giá trị hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong đoạn \([1; 3]\):
  \(y(1) = (1 - 2)^2 e^1 = e\);
  \(y(2) = (2 - 2)^2 e^2 = 0\);
  \(y(3) = (3 - 2)^2 e^3 = e^3\).
• Vậy \(\max_{[1; 3]} y = y(3) = e^3\).
\(\Rightarrow\) Chọn đáp án B.

• Theo định nghĩa tiệm cận ngang: Vì \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2\) và \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\) nên đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
• Vì \(\lim_{x \to 2} f(x) = 1\) (khi x tiến đến 2 kết quả là hữu hạn) nên đường thẳng \(x = 2\) không phải là tiệm cận đứng.
\(\Rightarrow\) Chọn đáp án B.

• Chia đa thức: \(y = \frac{x(x+2) - 2}{x + 2} = x - \frac{2}{x + 2}\).
• Do \(\lim_{x \to \pm\infty} [y - x] = \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{2}{x + 2}\right) = 0\).
• Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
\(\Rightarrow\) Chọn đáp án D.

• Khi \(x \to 1^-\), \(f(x) \to -1\) và khi \(x \to 1^+\), \(f(x) \to 7\). Giới hạn tại \(x = 1\) đều là các giá trị hữu hạn, không có vô cực nên đường thẳng \(x = 1\) không phải là tiệm cận đứng.
• Khi \(x \to -\infty\), \(f(x) \to 1 \Rightarrow y = 1\) là TCN; khi \(x \to +\infty\), \(f(x) \to -1 \Rightarrow y = -1\) là TCN.
• Khi \(x \to 3^-\), \(f(x) \to +\infty \Rightarrow x = 3\) là TCĐ.
• Vậy phát biểu D sai.
\(\Rightarrow\) Chọn đáp án D.

• Quan sát Hình 1.37:
  - Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = -1\).
  - Tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).
  - Đồ thị cắt trục tung \(Oy\) tại điểm \((0; 1)\).
• Kiểm tra các hàm số:
  - Phương án B: \(y = \frac{2x+1}{x+1}\) có TCĐ \(x = -1\), TCN \(y = 2\), và với \(x = 0 \Rightarrow y = 1\), hoàn toàn phù hợp với đồ thị.
\(\Rightarrow\) Chọn đáp án B.

• Quan sát Hình 1.38:
  - Tiệm cận đứng: đường thẳng \(x = -1\).
  - Tiệm cận xiên: đi qua gốc tọa độ \((0;0)\) và điểm \((1;1)\) nên có phương trình \(y = x\).
  - Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0; 1)\).
• Biến đổi các đáp án có tiệm cận xiên dạng \(y = x + ...\):
  - Phương án D: \(y = \frac{x^2+x+1}{x+1} = \frac{x(x+1) + 1}{x+1} = x + \frac{1}{x+1}\).
    + TCĐ: \(x = -1\).
    + TCX: \(y = x\).
    + Điểm giao với \(Oy\): Khi \(x = 0 \Rightarrow y = 1\), hoàn toàn đúng với đồ thị.
\(\Rightarrow\) Chọn đáp án D.