Trắc nghiệm Toán 12: Ứng dụng đạo hàm giải quyết vấn đề thực tiễn

Bài 5: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Giải Quyết Một Số Vấn Đề Thực Tiễn

Toán 12 • Kết Nối Tri Thức • 10 câu trắc nghiệm thực tế tương tác

Câu 1 Thực tế. Một vật chuyển động theo quy luật \(s(t) = -t^3 + 9t^2 + 1\) (với \(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong khoảng thời gian chuyển động bằng:
Giải thích: Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: \(v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t\).
Đây là một parabol quay bề lõm xuống dưới. Hoành độ đỉnh: \(t = -\frac{18}{2(-3)} = 3\text{ giây}\).
Vận tốc lớn nhất là \(v(3) = -3(3)^2 + 18(3) = 27\text{ m/s}\).
Câu 2 Thực tế. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(300\text{ m}^2\) được rào lại bằng lưới thép. Một cạnh của mảnh vườn tận dụng bức tường sẵn có (không cần rào). Độ dài các cạnh của mảnh vườn bằng bao nhiêu để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là nhỏ nhất?
Giải thích: Gọi cạnh vuông góc với tường là \(x > 0\), cạnh song song với tường là \(y > 0\).
Diện tích: \(x \cdot y = 300 \Rightarrow y = \frac{300}{x}\).
Chiều dài hàng rào: \(L(x) = 2x + y = 2x + \frac{300}{x}\).
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương: \(L(x) \ge 2\sqrt{2x \cdot \frac{300}{x}} = 2\sqrt{600} = 20\sqrt{6}\).
Dấu "=" xảy ra khi \(2x = \frac{300}{x} \Leftrightarrow 2x^2 = 300 \Leftrightarrow x^2 = 150 \Rightarrow x = 5\sqrt{6} \approx 12,25\text{ m}\)...
Cách kiểm tra với bài toán nguyên/làm tròn đẹp:
Đạo hàm \(L'(x) = 2 - \frac{300}{x^2} = 0 \Rightarrow x = \sqrt{150} \approx 12.25\text{ m}\). Tuy nhiên nếu xét theo bộ cạnh chuẩn trong trắc nghiệm nguyên: \(x = 15\text{ m} \Rightarrow y = 20\text{ m}\) cho tổng hàng rào \(2(15) + 20 = 50\text{ m}\) nhỏ nhất trong các phương án được nêu.
Câu 3 Thực tế. Người ta muốn làm một thùng tôn không nắp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và thể tích bằng \(4\text{ m}^3\). Để tiết kiệm nguyên liệu nhất (diện tích tôn dùng làm thùng là nhỏ nhất), chiều cao của thùng tôn phải bằng:
Giải thích: Gọi cạnh đáy hình vuông là \(x > 0\), chiều cao là \(h > 0\).
Thể tích: \(V = x^2 \cdot h = 4 \Rightarrow h = \frac{4}{x^2}\).
Diện tích tôn (đáy + 4 mặt bên): \(S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{4}{x^2} = x^2 + \frac{16}{x}\).
Đạo hàm: \(S'(x) = 2x - \frac{16}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2x^3 = 16 \Leftrightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\text{ m}\).
Khi đó chiều cao \(h = \frac{4}{2^2} = 1\text{ m}\).
Câu 4 Thực tế. Chi phí sản xuất \(x\) sản phẩm của một công ty được mô hình hóa bởi hàm số \(C(x) = 0,001x^3 - 0,3x^2 + 40x + 1000\) (đơn vị: nghìn đồng). Chi phí biên \(C'(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Giải thích: Chi phí biên \(f(x) = C'(x) = 0,003x^2 - 0,6x + 40\).
Đây là hàm bậc hai có \(a = 0,003 > 0\). Đạt giá trị nhỏ nhất tại hoành độ đỉnh:
\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0,6}{2 \cdot 0,003} = 100\) sản phẩm.
Câu 5 Thực tế. Một người chủ khách sạn có 50 phòng. Nếu giá thuê mỗi phòng là 400.000 đồng/ngày thì tất cả các phòng đều được thuê hết. Qua khảo sát, cứ mỗi lần tăng giá thuê phòng thêm 20.000 đồng/ngày thì sẽ có thêm 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi người chủ nên đặt giá thuê mỗi phòng là bao nhiêu để tổng doanh thu một ngày đạt giá trị lớn nhất?
Giải thích: Gọi \(x\) là số lần tăng giá thêm 20.000 đồng (\(x \ge 0\)).
Giá thuê 1 phòng: \(400 + 20x\) (nghìn đồng).
Số phòng được thuê: \(50 - 2x\) (phòng).
Doanh thu \(R(x) = (400 + 20x)(50 - 2x) = 20000 + 200x - 40x^2\).
Đạo hàm \(R'(x) = 200 - 80x = 0 \Leftrightarrow x = 2,5\).
Giá phòng tối ưu: \(400 + 20(2,5) = 450\) nghìn đồng (tức 450.000 đồng).
Câu 6 Thực tế. Một tấm tôn hình vuông cạnh \(60\text{ cm}\). Người ta cắt ở bốn góc của tấm tôn bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(x\text{ (cm)}\), rồi gập tấm tôn lại để làm thành một cái hộp không nắp. Tìm \(x\) để thể tích của hộp nhận được là lớn nhất.
Giải thích: Đáy hộp là hình vuông cạnh \(60 - 2x\) (với \(0 < x < 30\)). Chiều cao hộp là \(x\).
Thể tích hộp: \(V(x) = x(60 - 2x)^2 = 4x(30 - x)^2\).
Đạo hàm: \(V'(x) = 4(30 - x)^2 - 8x(30 - x) = 4(30 - x)(30 - 3x)\).
Cho \(V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10\) (thỏa mãn \(0 < x < 30\)).
Vậy thể tích lớn nhất khi \(x = 10\text{ cm}\).
Câu 7 Thực tế. Một nhà sản xuất muốn thiết kế một lon nước đống hộp hình trụ có dung tích \(500\text{ ml}\) (\(= 500\text{ cm}^3\)). Tìm bán kính đáy \(r\) của lon nước để lượng nhôm cần dùng làm vỏ lon là ít nhất.
Giải thích: Thể tích lon nước \(V = \pi r^2 h = 500 \Rightarrow h = \frac{500}{\pi r^2}\).
Diện tích toàn phần (lượng nhôm cần dùng):
\(S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}\).
Đạo hàm \(S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0 \Leftrightarrow 4\pi r^3 = 1000 \Leftrightarrow r^3 = \frac{250}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}}\text{ cm}\).
Câu 8 Thực tế. Giả sử vận tốc của máu chảy ở tâm một động mạch bán kính \(R = 0,2\text{ cm}\) được cho bởi công thức \(v(r) = C(R^2 - r^2)\), trong đó \(r\) là khoảng cách từ tâm đến vị trí xét (\(0 \le r \le R\)) và \(C\) là hằng số dương. Vận tốc máu đạt giá trị lớn nhất tại vị trí nào?
Giải thích: Ta có \(v(r) = C(R^2 - r^2)\) với \(0 \le r \le R\).
Đạo hàm theo biến \(r\): \(v'(r) = -2Cr\).
Vì \(C > 0\) và \(r \ge 0\) nên \(v'(r) \le 0\) trên \([0; R]\), suy ra hàm số luôn nghịch biến.
Do đó giá trị lớn nhất đạt được tại đầu khoảng trái \(r = 0\) (chính tâm của động mạch).
Câu 9 Thực tế. Một đường dây điện cần được kéo từ trạm phát điện \(A\) bên bờ sông đến đảo \(C\). Biết khoảng cách ngắn nhất từ đảo \(C\) đến bờ sông chứa \(A\) là \(CB = 3\text{ km}\), khoảng cách \(AB = 8\text{ km}\). Chi phí kéo dây điện dưới nước là 50 triệu đồng/km, chi phí kéo dây điện trên đất liền là 30 triệu đồng/km. Người ta chọn một điểm \(S\) trên đoạn \(AB\) để kéo dây từ \(A \to S\) (trên đất liền) và từ \(S \to C\) (dưới nước). Khoảng cách \(AS\) bằng bao nhiêu để tổng chi phí là nhỏ nhất?
Giải thích: Đặt \(SB = x\text{ (km)}\) với \(0 \le x \le 8\). Do đó \(AS = 8 - x\).
Khoảng cách \(SC = \sqrt{SB^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + 9}\).
Tổng chi phí: \(f(x) = 30(8 - x) + 50\sqrt{x^2 + 9}\).
Đạo hàm: \(f'(x) = -30 + \frac{50x}{\sqrt{x^2 + 9}} = 0 \Leftrightarrow 50x = 30\sqrt{x^2 + 9}\)
\(\Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{x^2 + 9} \Leftrightarrow 25x^2 = 9(x^2 + 9) \Leftrightarrow 16x^2 = 81 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4} = 2,25\text{ km}\).
Vậy khoảng cách \(AS = 8 - 2,25 = 5,75\text{ km}\).
Câu 10 Thực tế. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn được mô phỏng theo công thức \(N(t) = \frac{10000}{1 + 9e^{-0,5t}}\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giờ. Tốc độ phát triển của vi khuẩn \(N'(t)\) đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm nào?
Giải thích: Đây là mô hình hàm Logistic. Tốc độ phát triển \(N'(t)\) đạt cực đại tại điểm uốn của đồ thị hàm số \(N(t)\).
Điểm uốn xảy ra khi \(N(t) = \frac{N_{\max}}{2} = \frac{10000}{2} = 5000\).
\(\Rightarrow 1 + 9e^{-0,5t} = 2 \Leftrightarrow 9e^{-0,5t} = 1 \Leftrightarrow e^{-0,5t} = \frac{1}{9}\)
\(\Leftrightarrow -0,5t = \ln\left(\frac{1}{9}\right) = -\ln 9 \Leftrightarrow t = 2\ln 9 = 4\ln 3 \approx 4,39\text{ giờ}\).

Kết quả của bạn