GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Bài 1.26: Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y = t^3 - 12t + 3,\ t \ge 0\).
a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 3\).
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?
a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 3\).
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?
Lời giải chi tiết:
- a) Tìm hàm vận tốc và gia tốc:
• Hàm vận tốc: \(v(t) = y'(t) = 3t^2 - 12 \text{ (m/s)}\).
• Hàm gia tốc: \(a(t) = v'(t) = y''(t) = 6t \text{ (m/s}^2\text{)}\). - b) Chiều chuyển động của hạt (\(t \ge 0\)):
• Hạt chuyển động lên trên khi \(v(t) > 0 \Leftrightarrow 3t^2 - 12 > 0 \Leftrightarrow t<-2,2<t\).
• Hạt chuyển động xuống dưới khi \(v(t) < 0 \Leftrightarrow 3t^2 - 12 < 0 \Leftrightarrow -2<t<2\).
Kết luận: Hạt chuyển động xuống dưới trong khoảng thời gian \(0 \le t < 2\) giây và chuyển động lên trên trong khoảng thời gian \(t > 2\) giây. - c) Quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 3\):
• Tại \(t = 0\): \(y(0) = 3\text{ m}\).
• Tại \(t = 2\) (thời điểm đổi chiều chuyển động): \(y(2) = 2^3 - 12(2) + 3 = -13\text{ m}\).
• Tại \(t = 3\): \(y(3) = 3^3 - 12(3) + 3 = -6\text{ m}\).
• Quãng đường đi được từ \(t = 0\) đến \(t = 2\): \(S_1 = |y(2) - y(0)| = |-13 - 3| = 16\text{ m}\).
• Quãng đường đi được từ \(t = 2\) đến \(t = 3\): \(S_2 = |y(3) - y(2)| = |-6 - (-13)| = 7\text{ m}\).
• Tổng quãng đường đi được: \(S = S_1 + S_2 = 16 + 7 = 23\text{ m}\). - d) Tăng tốc và giảm tốc (\(t \ge 0\)):
Hạt tăng tốc khi \(v(t)\) và \(a(t)\) cùng dấu (\(v(t) \cdot a(t) > 0\)); giảm tốc khi \(v(t)\) và \(a(t)\) trái dấu (\(v(t) \cdot a(t) < 0\)).
• Với \(t > 0 \Rightarrow a(t) = 6t > 0\).
• Khi \(0 < t < 2\): \(v(t) < 0\) và \(a(t) > 0 \Rightarrow v(t) \cdot a(t) < 0 \Rightarrow\) Hạt giảm tốc.
• Khi \(t > 2\): \(v(t) > 0\) và \(a(t) > 0 \Rightarrow v(t) \cdot a(t) > 0 \Rightarrow\) Hạt tăng tốc.
Bài 1.27: Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất \(x\) đơn vị hàng hoá nào đó là:
\[C(x) = 23000 + 50x - 0{,}5x^2 + 0{,}00175x^3\] a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm \(C'(100)\) và giải thích ý nghĩa của nó.
c) So sánh \(C'(100)\) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101.
\[C(x) = 23000 + 50x - 0{,}5x^2 + 0{,}00175x^3\] a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm \(C'(100)\) và giải thích ý nghĩa của nó.
c) So sánh \(C'(100)\) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101.
Lời giải chi tiết:
- a) Hàm chi phí biên:
\[C'(x) = 50 - x + 0{,}00525x^2 \text{ (trăm nghìn đồng/đơn vị)}\] - b) Tính \(C'(100)\) và ý nghĩa:
• Thay \(x = 100\) vào hàm chi phí biên: \[C'(100) = 50 - 100 + 0{,}00525 \times (100)^2 = 50 - 100 + 52{,}5 = 2{,}5 \text{ (trăm nghìn đồng)}\]
• Ý nghĩa: Chi phí biên tại \(x = 100\) là \(2{,}5\) trăm nghìn đồng (\(250.000\) đồng), đại diện cho chi phí xấp xỉ gia tăng để sản xuất thêm đơn vị hàng hóa thứ 101. - c) So sánh với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101:
• Chi phí thực tế để sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101 là: \[\Delta C = C(101) - C(100)\]
• Ta có: \[C(100) = 23000 + 50(100) - 0{,}5(100)^2 + 0{,}00175(100)^3 = 24750\] \[C(101) = 23000 + 50(101) - 0{,}5(101)^2 + 0{,}00175(101)^3 = 24752{,}50675\] \[\Rightarrow \Delta C = 24752{,}50675 - 24750 = 2{,}50675 \text{ (trăm nghìn đồng)}\]
• So sánh: \(C'(100) = 2{,}5\) trăm nghìn đồng xấp xỉ bằng chi phí thực tế sản xuất sản phẩm thứ 101 là \(\Delta C \approx 2{,}50675\) trăm nghìn đồng (chênh lệch rất nhỏ khoảng \(675\) đồng).
Bài 1.28: Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Lời giải chi tiết:
- Đổi đơn vị: 8 triệu đồng = 80 trăm nghìn đồng.
- Gọi biến: Gọi \(x\) là số lần tăng giá thuê thêm 100 nghìn đồng (\(x \ge 0, x \in \mathbb{N}\) và \(x \le 100\)).
• Giá thuê mỗi căn hộ sau khi tăng: \(80 + x\) (trăm nghìn đồng/tháng).
• Số căn hộ có người thuê còn lại: \(100 - x\) (căn hộ). - Hàm doanh thu hàng tháng: \[R(x) = (80 + x)(100 - x) = 8000 + 20x - x^2 \text{ (trăm nghìn đồng)}\]
- Tìm giá trị lớn nhất của hàm doanh thu \(R(x)\) trên \([0; 100]\):
• Đạo hàm: \(R'(x) = 20 - 2x\).
• Cho \(R'(x) = 0 \Leftrightarrow 20 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 10\) (thỏa mãn điều kiện).
• Bảng biến thiên:
• Doanh thu đạt giá trị cực đại lớn nhất tại \(x = 10\).\(x\) \(0\) \(10\) \(100\) \(R'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(R(x)\) \(8000\) \(\nearrow\) \(8100\) \(\searrow\) \(0\) - Kết luận:
Khi \(x = 10\), giá thuê mỗi căn hộ nên được đặt là: \[80 + 10 = 90 \text{ (trăm nghìn đồng)} = 9 \text{ triệu đồng/tháng}\] Doanh thu lớn nhất đạt được là \(8100\) trăm nghìn đồng (\(8{,}1\) tỷ đồng/tháng).
Bài 1.29: Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hoá được cho bởi công thức:
\[p = \frac{354}{1 + 0{,}01x}, \quad x \ge 0\] trong đó \(p\) là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và \(x\) là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.
a) Tìm công thức tính \(x\) như là hàm số của \(p\). Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(x = x(p)\). Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
– Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán \(p\) tăng;
– Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn \(\lim_{p \to 0^+} x(p)\).
\[p = \frac{354}{1 + 0{,}01x}, \quad x \ge 0\] trong đó \(p\) là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và \(x\) là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.
a) Tìm công thức tính \(x\) như là hàm số của \(p\). Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(x = x(p)\). Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
– Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán \(p\) tăng;
– Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn \(\lim_{p \to 0^+} x(p)\).
Lời giải chi tiết:
a) Biểu diễn \(x\) theo \(p\), tìm tập xác định và tính lượng bán:
• Rút \(x\) từ công thức hàm cầu: \[p = \frac{354}{1 + 0{,}01x} \Leftrightarrow 1 + 0{,}01x = \frac{354}{p} \Leftrightarrow 0{,}01x = \frac{354}{p} - 1 \Leftrightarrow x = \frac{35400}{p} - 100 = \frac{35400 - 100p}{p}\]
• Tìm tập xác định của hàm số \(x(p)\):
Vì số lượng đơn vị sản phẩm \(x \ge 0\) và giá bán \(p > 0\): \[x \ge 0 \Leftrightarrow \frac{35400 - 100p}{p} \ge 0 \Leftrightarrow{p > 0} 35400 - 100p \ge 0 \Leftrightarrow p \le 354\] Do đó, tập xác định của hàm số \(x(p)\) là \(D = (0; 354]\).
• Khi giá bán \(p = 240\) (nghìn đồng): \[x(240) = \frac{35400}{240} - 100 = 147,5 - 100 = 47,5 \text{ (đơn vị sản phẩm)}\]
• Rút \(x\) từ công thức hàm cầu: \[p = \frac{354}{1 + 0{,}01x} \Leftrightarrow 1 + 0{,}01x = \frac{354}{p} \Leftrightarrow 0{,}01x = \frac{354}{p} - 1 \Leftrightarrow x = \frac{35400}{p} - 100 = \frac{35400 - 100p}{p}\]
• Tìm tập xác định của hàm số \(x(p)\):
Vì số lượng đơn vị sản phẩm \(x \ge 0\) và giá bán \(p > 0\): \[x \ge 0 \Leftrightarrow \frac{35400 - 100p}{p} \ge 0 \Leftrightarrow{p > 0} 35400 - 100p \ge 0 \Leftrightarrow p \le 354\] Do đó, tập xác định của hàm số \(x(p)\) là \(D = (0; 354]\).
• Khi giá bán \(p = 240\) (nghìn đồng): \[x(240) = \frac{35400}{240} - 100 = 147,5 - 100 = 47,5 \text{ (đơn vị sản phẩm)}\]
b) Khảo sát sự biến thiên và nhận xét:
• Khảo sát hàm số \(x(p) = \frac{35400}{p} - 100\) trên \((0; 354]\):
- Đạo hàm: \(x'(p) = -\frac{35400}{p^2} < 0, \forall p \in (0; 354]\).
- Giới hạn và điểm biên: \(\lim_{p \to 0^+} x(p) = +\infty;\ x(354) = 0\).
- Bảng biến thiên:
- Đồ thị nhận trục tung \(Op\) (đường \(p=0\)) làm tiệm cận đứng, nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất, giảm từ \(+\infty\) về điểm \((354; 0)\).
• Nhận xét từ đồ thị:
– Do \(x'(p) < 0\) trên \((0; 354]\) nên hàm số luôn nghịch biến. Vì vậy, khi giá bán \(p\) tăng lên thì số lượng đơn vị sản phẩm bán được \(x\) sẽ giảm đi.
– Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn \(\lim_{p \to 0^+} x(p) = +\infty\): Khi giá bán mỗi sản phẩm tiến về \(0\) (sản phẩm được phát miễn phí hoặc gần như miễn phí), nhu cầu/số lượng đơn vị sản phẩm người tiêu dùng muốn tiêu thụ sẽ tăng lên vô hạn.
• Khảo sát hàm số \(x(p) = \frac{35400}{p} - 100\) trên \((0; 354]\):
- Đạo hàm: \(x'(p) = -\frac{35400}{p^2} < 0, \forall p \in (0; 354]\).
- Giới hạn và điểm biên: \(\lim_{p \to 0^+} x(p) = +\infty;\ x(354) = 0\).
- Bảng biến thiên:
| \(p\) | \(0\) | \(354\) | |
|---|---|---|---|
| \(x'(p)\) | || | \(-\) | |
| \(x(p)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) |
- Đồ thị nhận trục tung \(Op\) (đường \(p=0\)) làm tiệm cận đứng, nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất, giảm từ \(+\infty\) về điểm \((354; 0)\).
• Nhận xét từ đồ thị:
– Do \(x'(p) < 0\) trên \((0; 354]\) nên hàm số luôn nghịch biến. Vì vậy, khi giá bán \(p\) tăng lên thì số lượng đơn vị sản phẩm bán được \(x\) sẽ giảm đi.
– Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn \(\lim_{p \to 0^+} x(p) = +\infty\): Khi giá bán mỗi sản phẩm tiến về \(0\) (sản phẩm được phát miễn phí hoặc gần như miễn phí), nhu cầu/số lượng đơn vị sản phẩm người tiêu dùng muốn tiêu thụ sẽ tăng lên vô hạn.