Trắc nghiệm Toán 12: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 4: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

Toán 12 • Kết Nối Tri Thức • 10 câu trắc nghiệm tương tác

Câu 1. Bảng biến thiên sau là của hàm số nào?

• \(x\) chạy từ \(-\infty \to -1 \to 1 \to +\infty\)
• \(y'\) có dấu: \((+) \to 0 \to (-) \to 0 \to (+)\)
• \(y\) tăng từ \(-\infty\) đến \(2\) (tại \(x=-1\)), giảm xuống \(-2\) (tại \(x=1\)), rồi tăng lên \(+\infty\).

Giải thích: Vì khi \(x \to +\infty\) thì \(y \to -\infty\) (hoặc xem đồ thị/dấu của \(y'\) từ trái sang), ta thấy hệ số \(a < 0\). Đạo hàm \(y' = -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Tại \(x = -1, y = 2\); tại \(x = 1, y = -2\). Vậy hàm số đúng là \(y = -x^3 + 3x\).
Câu 2. Đồ thị của hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) có tiệm cận đứng là \(x = 2\) và tiệm cận ngang là \(y = 1\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0; 2)\). Công thức của hàm số đó là:
Giải thích:
- Tiệm cận đứng \(x = 2 \Rightarrow\) Mẫu số có dạng \(x - 2\).
- Tiệm cận ngang \(y = 1 \Rightarrow\) Tử số có dạng \(1 \cdot x + b = x + b\).
- Đồ thị qua \(A(0; 2) \Rightarrow y(0) = \frac{b}{-2} = 2 \Rightarrow b = -4\).
Vậy hàm số là \(y = \frac{x - 4}{x - 2}\).
Câu 3. Đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}\) có đường tiệm cận xiên đi qua điểm nào dưới đây?
Giải thích: Viết lại hàm số: \(y = \frac{x(x - 1) - (x - 1) + 1}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1}\).
Phương trình đường tiệm cận xiên là \(d: y = x - 1\).
Thay tọa độ điểm \(P(2; 0)\) vào phương trình đường thẳng: \(0 = 2 - 1\) (thỏa mãn). Vậy tiệm cận xiên đi qua điểm \(P(2; 0)\).
Câu 4. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x + 1}{x - 1}\) là điểm:
Giải thích: Đồ thị hàm nhất biến \(y = \frac{ax+b}{cx+d}\) có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận.
Tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = 2\). Do đó tâm đối xứng là \(I(1; 2)\).
Câu 5. Cho hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) \((a \neq 0)\) có đồ thị đi qua điểm \(M(0; 3)\), đạt cực trị tại \(x = -1\) và \(x = 1\). Biết \(0<a<\frac{9}{2}\), đồ thị hàm số cắt trục hoành tại mấy điểm?
Giải thích: Đồ thị đi qua \(M(0; 3) \Rightarrow d = 3\). Do hai điểm cực trị đối xứng qua \(0\) nên điểm uốn thuộc trục tung là \(I(0; 3)\).
Vì \(a > 0\), hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\) với giá trị cực đại \(y_{CĐ} > 3\), và đạt cực tiểu tại \(x = 1\) với giá trị cực tiểu \(y_{CT} = 3 - (y_{CĐ} - 3) = 6 - y_{CĐ}\).
Thực hiện tính chính xác: \(y' = 3a(x^2 - 1) \Rightarrow y = a x^3 - 3a x + 3\). Với \(x = 1 \Rightarrow y(1) = 3 - 2a\).
Giá trị cực đại \(y(-1) = 3 + 2a > 0\); giá trị cực tiểu \(y(1) = 3 - 2a\). Tích hai giá trị cực trị là \(y_{CĐ} \cdot y_{CT} = (3+2a)(3-2a)\). Nếu \(3-2a > 0\), đồ thị nằm hẳn phía trên trục hoành chỉ cắt tại 1 nhánh âm. Nếu xét tổng quát với điểm uốn \(y=3>0\) và \(a>0\), đồ thị luôn có dạng tăng từ \(-\infty\) cắt trục hoành 1 lần duy nhất trước khi lên đỉnh cực đại.
Câu 6. Biết đồ thị hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + m\) cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt. Tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) là:
Giải thích: Ta có \(y' = 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Giá trị cực trị: \(y(0) = m\) và \(y(2) = m - 4\).
Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow y_{CĐ} \cdot y_{CT} < 0 \Leftrightarrow m(m - 4) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\).
Câu 7. Cho hàm số \(y = \frac{x^2 + x + 2}{x - 1}\). Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung \(Oy\).
Giải thích: Cho \(x = 0\) thay vào công thức hàm số:
\(y = \frac{0^2 + 0 + 2}{0 - 1} = \frac{2}{-1} = -2\).
Vậy giao điểm với trục tung là điểm có tọa độ \((0; -2)\).
Câu 8. Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x^3 - 3x + 1\) và đường thẳng \(y = 1\) là:
Giải thích: Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^3 - 3x + 1 = 1 \Leftrightarrow x^3 - 3x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 3) = 0\).
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt: \(x = 0\), \(x = \sqrt{3}\), \(x = -\sqrt{3}\).
Vậy có 3 giao điểm.
Câu 9. Đồ thị hàm số dạng đường cong hình bên dưới có đường tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận xiên \(y = x + 1\). Đây là đồ thị của hàm số nào?
Giải thích: Ta biến đổi các phương án:
- Với phương án A: \(y = \frac{x^2}{x - 1} = \frac{x(x - 1) + (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}\).
Hàm số này có tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận xiên \(y = x + 1\). Do đó phương án A thỏa mãn.
Câu 10 Thực tế. Giả sử chi phí (tính bằng triệu đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi hàm số \(C(x) = 50 + 2x + \frac{200}{x}\) (với \(x > 0\)). Khi số lượng sản phẩm \(x\) sản xuất ngày càng lớn (\(x \to +\infty\)), chi phí \(C(x)\) sẽ xấp xỉ với đường chi phí tuyến tính nào dưới đây?
Giải thích:
Hàm chi phí có dạng \(C(x) = 2x + 50 + \frac{200}{x}\).
Khi số lượng sản phẩm \(x \to +\infty\), thành phần \(\frac{200}{x} \to 0\).
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = 2x + 50\). Điều này cho thấy khi quy mô sản xuất đủ lớn, chi phí tổng thể sẽ tiệm cận với mô hình tuyến tính \(y = 2x + 50\).

Kết quả của bạn