Bài học Toán THPT - Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

📘 BÀI HỌC TOÁN 12: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống

📚 Nội dung bài học

1. Sơ đồ tổng quát khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

📌 BƯỚC 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
  1. Tập xác định: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.
  2. Sự biến thiên:
    • Tính đạo hàm \(y' = f'(x)\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không xác định.
    • Xét dấu \(y'\) để chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
    • Tìm cực trị của hàm số (nếu có).
    • Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và xác định các đường tiệm cận (nếu có).
  3. Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ tập xác định, dấu đạo hàm, chiều biến thiên và các điểm cực trị, tiệm cận.
📌 BƯỚC 2: VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
  • Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: giao điểm với trục tung (\(x = 0 \Rightarrow y\)), giao điểm với trục hoành (giải \(y = 0 \Rightarrow x\)), các điểm cực trị.
  • Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).
  • Vẽ đồ thị dựa trên bảng biến thiên, các điểm đặc biệt và tính đối xứng (nếu có).

2. Khảo sát hàm số đa thức bậc ba: \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a \ne 0)\)

Tính chất chung:

  • Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
  • Giới hạn: \(\lim_{x \to \pm\infty} y = \pm\infty\). Không có tiệm cận.
  • Đạo hàm: \(y' = 3ax^2 + 2bx + c\). Phương trình \(y' = 0\) là phương trình bậc hai.
💡 Các trường hợp của đồ thị hàm số bậc ba:
  • Nếu \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt (\(\Delta' > 0\)): Hàm số có 2 điểm cực trị.
  • Nếu \(y' = 0\) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm (\(\Delta' \le 0\)): Hàm số không có cực trị (luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)).
  • Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

3. Khảo sát hàm số nhất biến: \(y = \displaystyle\frac{ax + b}{cx + d} \quad (c \ne 0, ad - bc \ne 0)\)

📌 Các đặc trưng chính:
  • Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\displaystyle\frac{d}{c}\right\}\).
  • Đạo hàm: \(y' = \displaystyle\frac{ad - bc}{(cx + d)^2}\).
  • Do \(y'\) không đổi dấu trên từng khoảng xác định nên hàm số không có cực trị.
  • Tiệm cận đứng: \(x = -\displaystyle\frac{d}{c}\).
  • Tiệm cận ngang: \(y = \displaystyle\frac{a}{c}\).
  • Giao điểm hai đường tiệm cận \(I\left(-\displaystyle\frac{d}{c}; \displaystyle\frac{a}{c}\right)\) là tâm đối xứng của đồ thị (đường Hypebol).

4. Khảo sát hàm số dạng \(y = \displaystyle\frac{ax^2 + bx + c}{px + q} \quad (a \ne 0, p \ne 0)\)

📌 Các đặc trưng chính (Nội dung mới SGK Toán 12 KNTT):
  • Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\displaystyle\frac{q}{p}\right\}\).
  • Biến đổi dạng: \(y = A x + B + \displaystyle\frac{r}{px + q}\).
  • Tiệm cận đứng: \(x = -\displaystyle\frac{q}{p}\).
  • Tiệm cận xiên: \(y = Ax + B\).
  • Giao điểm \(I\) của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là tâm đối xứng của đồ thị.
🚀 Số lượng cực trị: Phương trình \(y' = 0\) nếu có 2 nghiệm phân biệt thuộc tập xác định thì hàm số có 2 điểm cực trị. Đồ thị gồm hai nhánh nằm ở hai phía của đường tiệm cận đứng.

5. Ví dụ minh họa & Bài tập luyện tập

Ví dụ 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = x^3 - 3x + 1\)

Lời giải:

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

2. Sự biến thiên:

  • \(y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = -1\).
  • Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((1; +\infty)\).
  • Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1; 1)\).
  • Đạt cực đại tại \(x = -1 \Rightarrow y_{CĐ} = 3\); đạt cực tiểu tại \(x = 1 \Rightarrow y_{CT} = -1\).
  • Giới hạn: \(\lim_{x \to -\infty} y = -\infty\); \(\lim_{x \to +\infty} y = +\infty\).

3. Bảng biến thiên:

(Dấu \(y'\): Dương trong \((-\infty; -1)\), Âm trong \((-1; 1)\), Dương trong \((1; +\infty)\))

4. Đồ thị: Đi qua các điểm cực trị \((-1; 3)\), \((1; -1)\), cắt \(Oy\) tại \((0; 1)\), nhận tâm đối xứng \(I(0; 1)\).

Ví dụ 2 Khảo sát hàm hữu tỉ bậc 2 trên bậc 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y = \displaystyle\frac{x^2 - x + 1}{x - 1}\)

Lời giải:

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

2. Biến đổi: \(y = x + \displaystyle\frac{1}{x - 1}\).

3. Tiệm cận:

  • \(\lim_{x \to 1^+} y = +\infty \Rightarrow\) Tiệm cận đứng \(x = 1\).
  • \(\lim_{x \to \pm\infty} [y - x] = \lim_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{1}{x - 1} = 0 \Rightarrow\) Tiệm cận xiên \(y = x\).

4. Đạo hàm: \(y' = 1 - \displaystyle\frac{1}{(x - 1)^2} = \displaystyle\frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

5. Cực trị: Đạt cực đại tại \(x = 0 \Rightarrow y_{CĐ} = -1\); đạt cực tiểu tại \(x = 2 \Rightarrow y_{CT} = 3\).

📝 Bài tập tự luyện:

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = -x^3 + 3x^2 - 4\).

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \displaystyle\frac{2x + 1}{x - 1}\).

3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \displaystyle\frac{x^2 + 2x - 2}{x + 1}\).

6. Ghi nhớ & Tổng kết các dạng đồ thị

Dạng hàm số Số cực trị Tiệm cận Tâm đối xứng
Bậc 3: \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) 2 hoặc 0 Không có Điểm uốn \(I\left(-\displaystyle\frac{b}{3a}; y_I\right)\)
Nhất biến: \(y = \displaystyle\frac{ax + b}{cx + d}\) 0 1 TCĐ, 1 TCN Giao điểm 2 tiệm cận \(I\left(-\displaystyle\frac{d}{c}; \displaystyle\frac{a}{c}\right)\)
Bậc 2 / Bậc 1: \(y = \displaystyle\frac{ax^2 + bx + c}{px + q}\) 2 hoặc 0 1 TCĐ, 1 TCX Giao điểm TCĐ và TCX
🎯 Mẹo làm bài trắc nghiệm nhận dạng đồ thị:
  • Dấu hệ số cao nhất \(a\): Nhìn vào nhánh bên phải cùng của đồ thị (khi \(x \to +\infty\)), nếu đồ thị đi lên thì \(a > 0\), đi xuống thì \(a < 0\).
  • Giao điểm với trục tung \(Oy\): Cho \(x = 0 \Rightarrow y\), đối chiếu điểm cắt trên đồ thị.
  • Đường tiệm cận: Xác định vị trí tiệm cận đứng, tiệm cận ngang / tiệm cận xiên để loại trừ phương án sai.