Giải Bài Tập Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Toán 12 KNTT

GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1.21: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = -x^3 + 3x + 1\);
b) \(y = x^3 + 3x^2 - x - 1\).
Lời giải chi tiết:
a) Khảo sát hàm số \(y = -x^3 + 3x + 1\):
  1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
  2. Sự biến thiên:
    • Đạo hàm: \(y' = -3x^2 + 3\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = -1\).
    • Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x \to -\infty} y = +\infty;\ \lim_{x \to +\infty} y = -\infty\).
    • Bảng biến thiên:
      \(x\) \(-\infty\) \(-1\) \(1\) \(+\infty\)
      \(y'\) \(-\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\)
      \(y\) \(+\infty\) \(\searrow\) \(-1\) \(\nearrow\) \(3\) \(\searrow\) \(-\infty\)
    • Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((1; +\infty)\).
    • Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 1)\).
    • Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1, y_{CĐ} = 3\); đạt cực tiểu tại \(x = -1, y_{CT} = -1\).
  3. Vẽ đồ thị:
    • Đồ thị giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 1)\).
    • Đồ thị nhận điểm uốn \(I(0; 1)\) làm tâm đối xứng (vì \(y'' = -6x = 0 \Rightarrow x = 0\)).
    • Đồ thị đi qua các điểm: \((-2; 3), (-1; -1), (0; 1), (1; 3), (2; -1)\).
b) Khảo sát hàm số \(y = x^3 + 3x^2 - x - 1\):
  1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
  2. Sự biến thiên:
    • Đạo hàm: \(y' = 3x^2 + 6x - 1\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 + 6x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}\) hoặc \(x = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}\).
    • Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x \to -\infty} y = -\infty;\ \lim_{x \to +\infty} y = +\infty\).
    • Bảng biến thiên:
      \(x\) \(-\infty\) \(x_1 = \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}\) \(x_2 = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}\) \(+\infty\)
      \(y'\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
      \(y\) \(-\infty\) \(\nearrow\) \(y(x_1) \approx 2{,}15\) \(\searrow\) \(y(x_2) \approx -1{,}15\) \(\nearrow\) \(+\infty\)
    • Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty; \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}\right)\) và \(\left(\frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}; +\infty\right)\).
    • Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}; \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}\right)\).
    • Cực trị: Đạt cực đại tại \(x_1 = \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}\), đạt cực tiểu tại \(x_2 = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}\).
  3. Vẽ đồ thị:
    • Đồ thị giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; -1)\).
    • Đồ thị nhận điểm uốn \(I(-1; 2)\) làm tâm đối xứng (vì \(y'' = 6x + 6 = 0 \Rightarrow x = -1\)).
    • Đồ thị đi qua các điểm đặc biệt: \((-3; 2), (-1; 2), (0; -1), (1; 2)\).
Bài 1.22: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{2x + 1}{x + 1}\);
b) \(y = \frac{x + 3}{1 - x}\).
Lời giải chi tiết:
a) Khảo sát hàm số \(y = \frac{2x + 1}{x + 1}\):
  1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
  2. Sự biến thiên:
    • Đạo hàm: \(y' = \frac{2(1) - 1(1)}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} > 0, \forall x \neq -1\).
    • Tiệm cận:
      • \(\lim_{x \to -1^+} y = -\infty;\ \lim_{x \to -1^-} y = +\infty \Rightarrow\) Đường thẳng \(x = -1\) là tiệm cận đứng.
      • \(\lim_{x \to \pm\infty} y = 2 \Rightarrow\) Đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang.
    • Bảng biến thiên:
      \(x\) \(-\infty\) \(-1\) \(+\infty\)
      \(y'\) \(+\) || \(+\)
      \(y\) \(2\) \(\nearrow\) || \(\nearrow\) \(2\)
    • Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((-1; +\infty)\).
    • Hàm số không có cực trị.
  3. Đồ thị:
    • Đồ thị giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 1)\), giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left(-\frac{1}{2}; 0\right)\).
    • Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận \(I(-1; 2)\) làm tâm đối xứng.
b) Khảo sát hàm số \(y = \frac{x + 3}{1 - x} = \frac{-x - 3}{x - 1}\):
  1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
  2. Sự biến thiên:
    • Đạo hàm: \(y' = \frac{1(1) - 3(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{4}{(1 - x)^2} > 0, \forall x \neq 1\).
    • Tiệm cận:
      • \(\lim_{x \to 1^+} y = -\infty;\ \lim_{x \to 1^-} y = +\infty \Rightarrow\) Đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
      • \(\lim_{x \to \pm\infty} y = -1 \Rightarrow\) Đường thẳng \(y = -1\) là tiệm cận ngang.
    • Bảng biến thiên:
      \(x\) \(-\infty\) \(1\) \(+\infty\)
      \(y'\) \(+\) || \(+\)
      \(y\) \(-1\) \(\nearrow\) || \(\nearrow\) \(-1\)
    • Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; 1)\) và \((1; +\infty)\).
    • Hàm số không có cực trị.
  3. Đồ thị:
    • Đồ thị giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 3)\), giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-3; 0)\).
    • Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận \(I(1; -1)\) làm tâm đối xứng.
Bài 1.23: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{2x^2 - x + 4}{x - 1}\);
b) \(y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 3}\).
Lời giải chi tiết:
a) Khảo sát hàm số \(y = \frac{2x^2 - x + 4}{x - 1} = 2x + 1 + \frac{5}{x - 1}\):
  1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
  2. Sự biến thiên:
    • Đạo hàm: \(y' = 2 - \frac{5}{(x - 1)^2} = \frac{2(x - 1)^2 - 5}{(x - 1)^2}\).
    • Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^2 = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt{\frac{5}{2}}\) hoặc \(x = 1 + \sqrt{\frac{5}{2}}\).
    • Tiệm cận:
      • \(\lim_{x \to 1^+} y = +\infty;\ \lim_{x \to 1^-} y = -\infty \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng.
      • \(\lim_{x \to \pm\infty} [y - (2x + 1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5}{x - 1} = 0 \Rightarrow y = 2x + 1\) là tiệm cận xiên.
    • Bảng biến thiên:
      \(x\) \(-\infty\) \(1 - \sqrt{2{,}5}\) \(1\) \(1 + \sqrt{2{,}5}\) \(+\infty\)
      \(y'\) \(+\) \(0\) \(-\) || \(-\) \(0\) \(+\)
      \(y\) \(-\infty\) \(\nearrow\) \(y_{CĐ}\) \(\searrow\) || \(\searrow\) \(y_{CT}\) \(\nearrow\) \(+\infty\)
    • Hàm số đồng biến trên \((-\infty; 1 - \sqrt{2{,}5})\) và \((1 + \sqrt{2{,}5}; +\infty)\).
    • Hàm số nghịch biến trên \((1 - \sqrt{2{,}5}; 1)\) và \((1; 1 + \sqrt{2{,}5})\).
    • Đạt cực đại tại \(x = 1 - \sqrt{2{,}5}\) với \(y_{CĐ} = 1 - 2\sqrt{10}\); đạt cực tiểu tại \(x = 1 + \sqrt{2{,}5}\) với \(y_{CT} = 1 + 2\sqrt{10}\).
  3. Đồ thị:
    • Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại \((0; -4)\).
    • Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận \(I(1; 3)\) làm tâm đối xứng.
b) Khảo sát hàm số \(y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 3} = x - 1 + \frac{4}{x + 3}\):
  1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\).
  2. Sự biến thiên:
    • Đạo hàm: \(y' = 1 - \frac{4}{(x + 3)^2} = \frac{(x + 3)^2 - 4}{(x + 3)^2} = \frac{(x + 1)(x + 5)}{(x + 3)^2}\).
    • Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -5 \\ x = -1 \end{array}\right.\)
    • Tiệm cận:
      • \(\lim_{x \to -3^+} y = +\infty;\ \lim_{x \to -3^-} y = -\infty \Rightarrow x = -3\) là tiệm cận đứng.
      • \(\lim_{x \to \pm\infty} [y - (x - 1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x + 3} = 0 \Rightarrow y = x - 1\) là tiệm cận xiên.
    • Bảng biến thiên:
      \(x\) \(-\infty\) \(-5\) \(-3\) \(-1\) \(+\infty\)
      \(y'\) \(+\) \(0\) \(-\) || \(-\) \(0\) \(+\)
      \(y\) \(-\infty\) \(\nearrow\) \(-8\) \(\searrow\) || \(\searrow\) \(0\) \(\nearrow\) \(+\infty\)
    • Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -5)\) và \((-1; +\infty)\).
    • Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-5; -3)\) và \((-3; -1)\).
    • Cực trị: Đạt cực đại tại \(x = -5, y_{CĐ} = -8\); đạt cực tiểu tại \(x = -1, y_{CT} = 0\).
  3. Đồ thị:
    • Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0; \frac{1}{3}\right)\), tiếp xúc với trục \(Ox\) tại điểm \((-1; 0)\).
    • Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận \(I(-3; -4)\) làm tâm đối xứng.
Bài 1.24: Bài toán ứng dụng thực tế về nồng độ dung dịch KOH
Lời giải chi tiết:
  • a) Thiết lập công thức hàm số \(C(x)\):
    • Khối lượng KOH ban đầu trong cốc: \(30 \times 100 = 3000\text{ (mg)}\).
    • Khối lượng KOH thêm vào từ \(x\text{ ml}\) bình chứa: \(8x\text{ (mg)}\).
    • Tổng thể tích dung dịch sau khi trộn: \(30 + x\text{ (ml)}\).
    • Nồng độ KOH trong cốc thu được là: \[C(x) = \frac{3000 + 8x}{30 + x} = \frac{8x + 3000}{x + 30}\text{ (mg/ml)}, \quad \text{với } x \ge 0\]
  • b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(C(x)\) với \(x \ge 0\):
    • Tập xác định: \(D = [0; +\infty)\).
    • Đạo hàm: \(C'(x) = \frac{8(30) - 3000(1)}{(x + 30)^2} = \frac{240 - 3000}{(x + 30)^2} = \frac{-2760}{(x + 30)^2} < 0, \forall x \ge 0\).
    • Tiệm cận ngang (khi \(x \to +\infty\)): \(\lim_{x \to +\infty} C(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{8x + 3000}{x + 30} = 8\).
    • Bảng biến thiên:
    \(x\) \(0\) \(+\infty\)
    \(C'(x)\) \(-\)
    \(C(x)\) \(100\) \(\searrow\) \(8\)
    • Hàm số nghịch biến trên khoảng \([0; +\infty)\).
    • Đồ thị xuất phát từ điểm \((0; 100)\) và đi xuống tiệm cận với đường thẳng \(y = 8\) khi \(x \to +\infty\).
  • c) Giải thích hiện tượng thực tế:
    • Do \(C'(x) < 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên hàm số \(C(x)\) luôn giảm, nghĩa là khi rót thêm dung dịch nồng độ thấp hơn (\(8\text{ mg/ml}\)) vào dung dịch nồng độ cao (\(100\text{ mg/ml}\)) thì nồng độ tổng hợp sẽ giảm dần.
    • Vì \(\lim_{x \to +\infty} C(x) = 8\) và hàm số giảm liên tục về \(8\) nên nồng độ dung dịch thu được sẽ tiến dần đến nồng độ dung dịch thêm vào (\(8\text{ mg/ml}\)) nhưng luôn lớn hơn \(8\text{ mg/ml}\) với mọi lượng thể tích \(x\) hữu hạn.
Bài 1.25: Khi ghép song song hai điện trở \(R_1\) và \(R_2\), điện trở tương đương \(R\) của hệ được xác định theo biểu thức \(R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\).

Giả sử điện trở cố định \(8\,\Omega\) được ghép song song với một biến trở có điện trở \(x\,\Omega\) (\(x > 0\)). Khi đó, điện trở tương đương là một hàm số theo \(x\), kí hiệu \(y = R(x)\). Hãy lập bảng biến thiên, khảo sát dạng đồ thị của hàm số \(y = R(x)\) trên khoảng \((0; +\infty)\) và giải thích các câu hỏi sau:
  1. Sự thay đổi của điện trở tương đương khi giá trị biến trở \(x\) tăng lên.
  2. Lý do điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá ngưỡng \(8\,\Omega\).
Lời giải chi tiết:
  • 1. Khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số:
    Thay \(R_1 = 8\) và \(R_2 = x\) vào công thức, ta thu được hàm số: \[y = R(x) = \frac{8x}{x + 8} \quad \text{với } x > 0\] • Đạo hàm: \[R'(x) = \frac{8(x + 8) - 8x(1)}{(x + 8)^2} = \frac{64}{(x + 8)^2}\] Vì \(64 > 0\) và \((x + 8)^2 > 0\) với mọi \(x > 0\), nên \(R'(x) > 0\) trên khoảng \((0; +\infty)\).
    • Giới hạn: \[\lim_{x \to 0^+} R(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{8x}{x + 8} = 0\] \[\lim_{x \to +\infty} R(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{8x}{x + 8} = 8\] Do đó, đường thẳng \(y = 8\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi \(x \to +\infty\).
    • Bảng biến thiên:
    \(x\) \(0\) \(+\infty\)
    \(R'(x)\) | \(+\)
    \(R(x)\) \(0\) \(\nearrow\) \(8\)
  • 2. Trả lời các câu hỏi:
    a) Điện trở tương đương thay đổi như thế nào khi \(x\) tăng?
    Vì đạo hàm \(R'(x) > 0\) với mọi \(x > 0\) nên hàm số \(R(x)\) đồng biến trên khoảng \((0; +\infty)\).
    Kết luận: Khi điện trở \(x\) của biến trở tăng lên thì điện trở tương đương \(R\) của đoạn mạch cũng tăng theo.

    b) Tại sao điện trở tương đương không bao giờ vượt quá \(8\,\Omega\)?
    • Biến đổi đại số: \[R(x) = \frac{8x}{x + 8} = \frac{8(x + 8) - 64}{x + 8} = 8 - \frac{64}{x + 8}\] Vì \(x > 0\) nên \(x + 8 > 8 > 0\), suy ra \(\frac{64}{x + 8} > 0\).
    Do đó, \(R(x) = 8 - \frac{64}{x + 8} < 8\) với mọi giá trị \(x > 0\).
    • Mặt khác, giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} R(x) = 8\) cho thấy khi \(x\) tăng đến vô cùng, giá trị điện trở tương đương chỉ tiến tiệm cận về \(8\,\Omega\).
    Kết luận: Điện trở tương đương luôn nhỏ hơn \(8\,\Omega\) và tiến dần về \(8\,\Omega\) khi \(x\) rất lớn, do đó không bao giờ vượt quá \(8\,\Omega\).