BÀI 4. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN
1. Sơ đồ khảo sát hàm số
2. Khảo sát hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d\)
3. Khảo sát hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\)
4. Khảo sát hàm số \(y=\frac{ax^2+bx+c}{mx+n}\)
5. Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Bài 1
Đề bài
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = x^3 - 3x + 1$.
Lời giải: Ta có $y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.
- $y' = 0 \Rightarrow x = \pm 1$.
- $y(1) = -1$, $y(-1) = 3$.
- Hàm giảm trên $(-\infty, -1)$, tăng trên $(-1, 1)$, giảm trên $(1, +\infty)$.
- Cực đại tại $(-1,3)$, cực tiểu tại $(1,-1)$.
Bài 2
Đề bài
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$.
Lời giải:
- Tập xác định: $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
- Tiệm cận đứng: $x = -1$; Tiệm cận ngang: $y = 2$.
- Đạo hàm: $y' = \dfrac{3}{(x+1)^2} > 0$, nên hàm luôn đồng biến.
Bài 3
Đề bài
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 4}{x - 1}$.
Lời giải:
- Tập xác định: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
- Chia: $y = x + 1 - \dfrac{3}{x-1}$.
- Tiệm cận xiên: $y = x + 1$; Tiệm cận đứng: $x = 1$.
- $y' = 1 + \dfrac{3}{(x-1)^2} > 0$ nên hàm đồng biến trên từng khoảng xác định.
Bài 4
Đề bài
Một vật chuyển động theo phương trình $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ (m), với $t$ tính bằng giây. Hỏi vật đạt vận tốc bằng 0 tại thời điểm nào và vị trí khi đó?
Lời giải:
- Vận tốc: $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t^2 - 4t + 3)$.
- $v(t) = 0 \Rightarrow t = 1$ hoặc $t = 3$.
- $s(1)=4$, $s(3)=0$.
- Vật dừng lại tại hai thời điểm $t=1$ giây và $t=3$ giây.
Bài 5
Đề bài
Một công ty sản xuất mặt hàng có doanh thu (nghìn đồng) là $R(x) = -2x^2 + 80x$ và chi phí sản xuất là $C(x) = 20x + 100$, trong đó $x$ là số sản phẩm (đơn vị trăm). Hỏi công ty cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất và lợi nhuận khi đó là bao nhiêu?
Lời giải:
- Lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x) = -2x^2 + 60x - 100$.
- $P'(x) = -4x + 60 = 0 \Rightarrow x = 15$.
- $P(15) = -2(225) + 900 - 100 = 350$ (nghìn đồng).
- Vậy lợi nhuận lớn nhất là 350 nghìn đồng khi sản xuất 1500 sản phẩm.
