Giải Bài Tập Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số - Toán 12 KNTT

GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 12 - KNTT Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 1.16 (Trang 25): Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y = f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$[cite: 4].
Sử dụng đồ thị này, hãy:

Viết kết quả của các giới hạn sau: $\lim_{x \to -\infty} f(x)$; $\lim_{x \to +\infty} f(x)$; $\lim_{x \to 1^+} f(x)$; $\lim_{x \to -1^-} f(x)$.
Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải:

a) Viết kết quả các giới hạn dựa vào đồ thị Hình 1.26:[cite: 4]
- $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$
- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$
- $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$
- $\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$
b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số:
- Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = 2$ (vì $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$).
- Tiệm cận đứng: Các đường thẳng $x = 1$ và $x = -1$ (vì giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $\pm 1$ phía bên trái/phải đều cho kết quả vô cực).

Bài 1.17 (Trang 25): Đường thẳng $x = 1$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$ không?[cite: 4]

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là D = $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Ta xét giới hạn của hàm số tại điểm $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 3) = 1 + 3 = 4$$
Vì $\lim_{x \to 1} y = 4$ (là một số hữu hạn chứ không phải vô cực $\infty$), theo định nghĩa, đường thẳng $x = 1$ không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 1.18 (Trang 25): Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:[cite: 4]

$y = \frac{3 - x}{2x + 1}$;
$y = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2}$.

Lời giải:

a) $y = \frac{3 - x}{2x + 1}$:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$.
- Tiệm cận đứng: Ta có $\lim_{x \to -\frac{1}{2}^+} \frac{3 - x}{2x + 1} = +\infty$ (hoặc giới hạn trái/phải đều cho kết quả vô cực). Do đó, đường thẳng $x = -\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Tiệm cận ngang: Ta có $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3 - x}{2x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{3}{x} - 1}{2 + \frac{1}{x}} = -\frac{1}{2}$. Do đó, đường thẳng $y = -\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) $y = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2}$:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
- Tiệm cận đứng: $\lim_{x \to -2^+} \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = -\infty$ (hoặc giới hạn trái là $+\infty$). Do đó, đường thẳng $x = -2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Tiệm cận xiên: Thực hiện phép chia đa thức, ta được: $y = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = 2x - 3 + \frac{5}{x + 2}$.
- Vì $\lim_{x \to \pm\infty} [y - (2x - 3)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5}{x + 2} = 0$, nên đường thẳng $y = 2x - 3$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi $x \to \pm\infty$.

Bài 1.19 (Trang 25): Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất $x$ (sản phẩm) là $C(x) = 2x + 50$ (triệu đồng)[cite: 4].
Khi đó $f(x) = \frac{C(x)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số $f(x)$ giảm và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Tính chất này nói lên điều gì?[cite: 4]

Lời giải:

Hàm chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm là: $f(x) = \frac{2x + 50}{x} = 2 + \frac{50}{x}$ với $x > 0$.
Chứng tỏ hàm số $f(x)$ giảm:
- Tính đạo hàm: $f'(x) = -\frac{50}{x^2}$.
- Vì $-\frac{50}{x^2} < 0$ với mọi $x > 0$, nên hàm số $f(x)$ nghịch biến (giảm) trên khoảng $(0; +\infty)$.
Tính giới hạn:
- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{50}{x}\right) = 2 + 0 = 2$.
Ý nghĩa thực tiễn:
- Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(x)$.
- Tính chất này nói lên rằng khi số lượng sản phẩm $x$ được sản xuất ra càng nhiều (tăng lên vô hạn) thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ càng giảm và dần tiến tới mức $2$ triệu đồng/sản phẩm (do các chi phí cố định ban đầu được phân bổ đều cho số lượng sản phẩm lớn).

Bài 1.20 (Trang 25): Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng $144\text{ m}^2$. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là $x$ (m)[cite: 4].

Viết biểu thức tính chu vi $P(x)$ (mét) của mảnh vườn.
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $P(x)$.

Lời giải:

a) Viết biểu thức tính chu vi $P(x)$:
- Gọi độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là $y$ (m).
- Vì diện tích mảnh vườn bằng $144\text{ m}^2$ nên $x \cdot y = 144 \Rightarrow y = \frac{144}{x}$ (với $x > 0$).
- Biểu thức tính chu vi mảnh vườn là: $P(x) = 2\left(x + y\right) = 2\left(x + \frac{144}{x}\right) = 2x + \frac{288}{x}$ (mét).
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $P(x)$:
- Hàm số xét trên tập xác định $D = (0; +\infty)$: $P(x) = 2x + \frac{288}{x}$.
- Tiệm cận đứng: Xét giới hạn khi $x \to 0^+$: $\lim_{x \to 0^+} \left(2x + \frac{288}{x}\right) = +\infty$. Do đó, đường thẳng $x = 0$ (trục tung) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Tiệm cận xiên (hoặc tiệm cận ngang):
  - Khi $x \to +\infty$, tỷ số $\frac{P(x)}{x} = \frac{2x + \frac{288}{x}}{x} = 2 + \frac{288}{x^2} \to 2$ (hệ số góc $a = 2$).
  - Hằng số $b = \lim_{x \to +\infty} [P(x) - 2x] = \lim_{x \to +\infty} \frac{288}{x} = 0$.
  - Do đó, đường thẳng $y = 2x$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi $x \to +\infty$. Đồ thị không có tiệm cận ngang.