5 Bài Toán Ứng Dụng Thực Tế của Đường Tiệm Cận
Bài Toán 1: Giới Hạn Tốc Độ của Xe Ô Tô
Một chiếc xe ô tô di chuyển trên đường cao tốc. Vận tốc \( v(t) \) của xe sau \( t \) giây được cho bởi hàm số:
\(v(t) = \frac{120t}{(t + 10)}\)Tìm vận tốc cực đại mà xe có thể đạt được khi \( t \) tiến dần đến vô cùng.
Ta tính giới hạn của \( v(t) \) khi \( t \to \infty \):
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{120t}{t + 10} = \lim_{t \to \infty} \frac{120t}{t(1 + 10/t)} = \frac{120}{1 + 0} = 120 \text{ km/h} \]
Vậy vận tốc cực đại là 120 km/h. Đồ thị có đường tiệm cận ngang \( y = 120 \).
Bài Toán 2: Hàm Số Mô Tả Nồng Độ Thuốc
Nồng độ \( C(t) \) của một loại thuốc trong máu được cho bởi hàm số:
\(C(t) = \frac{50}{1 + 0,1t}\)Tìm nồng độ thuốc khi \( t \to \infty \).
Ta tính giới hạn của \( C(t) \) khi \( t \to \infty \):
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{50}{1 + 0,1t} = 0 \]
Vậy khi thời gian trôi qua lâu, nồng độ thuốc trong máu sẽ tiệm cận về 0. Đường tiệm cận ngang là \( y = 0 \).
Bài Toán 3: Tính Lợi Nhuận Trung Bình
Lợi nhuận trung bình \( P(x) \) khi sản xuất \( x \) sản phẩm được cho bởi:
\(P(x) = \frac{1000x – 5000}{x}\)Tìm giới hạn của lợi nhuận trung bình khi \( x \to \infty \).
Ta tính giới hạn của \( P(x) \) khi \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1000x – 5000}{x} = \lim_{x \to \infty} (1000 – \frac{5000}{x}) = 1000 \]
Vậy lợi nhuận trung bình tiệm cận \( 1000 \). Đường tiệm cận ngang là \( y = 1000 \).
Bài Toán 4: Giảm Nhiệt Độ Nước
Nhiệt độ \( T(t) \) của một cốc nước nóng sau \( t \) phút được cho bởi:
\(T(t) = 20 + 80e^{-0,1t}\)Tìm nhiệt độ khi \( t \to \infty \).
Ta tính giới hạn của \( T(t) \) khi \( t \to \infty \):
\[ \lim_{t \to \infty} (20 + 80e^{-0,1t}) = 20 + 80 \cdot 0 = 20 \]
Vậy nhiệt độ của nước sẽ tiệm cận \( 20^\circ C \). Đường tiệm cận ngang là \( y = 20 \).
Bài Toán 5: Độ Cao của Vật Phóng
Độ cao \( h(t) \) của một vật được phóng lên không trung sau \( t \) giây được cho bởi:
\(h(t) = \frac{500}{1 + 2t}\)Tìm độ cao khi \( t \to \infty \).
Ta tính giới hạn của \( h(t) \) khi \( t \to \infty \):
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{500}{1 + 2t} = 0 \]
Vậy khi thời gian trôi qua lâu, độ cao của vật tiệm cận về \( 0 \). Đường tiệm cận ngang là \( y = 0 \).
