Bài 2: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

Giải thích: Ta có \(y' = 3x^2 - 3\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Vì xét trên \([0; 2]\) nên ta chọn \(x = 1\).
Tính giá trị tại các điểm:
\(y(0) = 5\); \(y(1) = 1 - 3 + 5 = 3\); \(y(2) = 8 - 6 + 5 = 7\).
Vậy \(\min_{[0;2]} y = 3\) tại \(x = 1\).

Giải thích: Ta có \(y' = \frac{-2 - 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} < 0\) với mọi \(x \in [3; 5]\).
Hàm số luôn nghịch biến trên \([3; 5]\), do đó giá trị lớn nhất đạt được tại đầu khoảng trái:
\(\max_{[3;5]} y = y(3) = \frac{3 + 1}{3 - 2} = 4\).

Giải thích: Ta có \(y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 1; x = -1\). Tất cả đều thuộc đoạn \([-1; 2]\).
Tính giá trị:
\(y(-1) = 0\); \(y(0) = 1\); \(y(1) = 0\); \(y(2) = 16 - 8 + 1 = 9\).
Suy ra \(\max_{[-1;2]} y = 9\) và \(\min_{[-1;2]} y = 0\). Tích của chúng bằng \(9 \cdot 0 = 0\).

Giải thích: Vì \(x > 0\), áp dụng bất đẳng thức Côn-si (AM-GM) cho hai số dương \(x\) và \(\frac{9}{x}\):
\(y = x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 2 \cdot 3 = 6\).
Dấu "=" xảy ra khi \(x = \frac{9}{x} \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = 3 \in (0; +\infty)\).
Vậy \(\min_{(0; +\infty)} y = 6\).

Giải thích: Tập xác định \(D = [-2; 2]\).
Với mọi \(x \in [-2; 2]\), ta có \(0 \le 4 - x^2 \le 4 \Rightarrow 0 \le \sqrt{4 - x^2} \le 2\).
Do đó \(M = \max y = 2\) (khi \(x = 0\)) và \(m = \min y = 0\) (khi \(x = \pm 2\)).
Tổng \(M + m = 2 + 0 = 2\).

Giải thích: Đặt \(f(x) = x^3 - 3x\). Trên đoạn \([0; 2]\), ta có \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
\(f(0) = 0\); \(f(1) = -2\); \(f(2) = 2\).
Do đó \(\max_{[0;2]} f(x) = 2 \Rightarrow \max_{[0;2]} y = 2 + m\).
Theo đề bài: \(2 + m = 9 \Leftrightarrow m = 7\).

Giải thích: Ta có công thức lượng giác: \(y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\).
Vì \(-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1\) nên \(-\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt{2}\).

Giải thích: Quan sát bảng biến thiên trên đoạn \([-1; 3]\):
- Giá trị cao nhất của hàm số là \(f(1) = 4 \Rightarrow \max f(x) = 4\).
- Giá trị thấp nhất của hàm số là \(f(-1) = -2 \Rightarrow \min f(x) = -2\).
Do đó khẳng định D là đúng.

Giải thích: So sánh tung độ các điểm trên đoạn \([-2; 4]\):
\(f(-2) = 0\); \(f(0) = 3\); \(f(2) = -1\); \(f(4) = 5\).
Giá trị nhỏ nhất là \(-1\), đạt được tại điểm \(x = 2\).

Giải thích:
Hàm chi phí trung bình: \(\bar{C}(x) = \frac{x^2 + 20x + 400}{x} = x + 20 + \frac{400}{x}\) với \(x > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức Côn-si cho hai số dương \(x\) và \(\frac{400}{x}\):
\(\bar{C}(x) \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{400}{x}} + 20 = 2 \cdot 20 + 20 = 60\).
Dấu "=" xảy ra khi \(x = \frac{400}{x} \Leftrightarrow x^2 = 400 \Leftrightarrow x = 20\) (sản phẩm).
Vậy công ty cần sản xuất \(20\) sản phẩm để chi phí trung bình là nhỏ nhất (\(60\) nghìn đồng/sản phẩm).