📘 BÀI HỌC TOÁN 12: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống
1. Khái niệm Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập hợp \(D\).
Số \(M\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên tập \(D\) nếu:
- \(f(x) \le M\) với mọi \(x \in D\).
- Tồn tại ít nhất một điểm \(x_0 \in D\) sao cho \(f(x_0) = M\).
Ký hiệu: \(\max_{x \in D} f(x) = M\) hoặc \(\max_D f(x) = M\).
Số \(m\) được gọi là giá trị nhỏ nhất of hàm số \(y = f(x)\) trên tập \(D\) nếu:
- \(f(x) \ge m\) với mọi \(x \in D\).
- Tồn tại ít nhất một điểm \(x_0 \in D\) sao cho \(f(x_0) = m\).
Ký hiệu: \(\min_{x \in D} f(x) = m\) hoặc \(\min_D f(x) = m\).
Để khẳng định \(M\) là GTLN (hoặc \(m\) là GTNN), bắt buộc phải tìm được điểm \(x_0 \in D\) để dấu bằng xảy ra. Nếu chỉ có \(f(x) < M\) mà không tồn tại \(x_0\) sao cho \(f(x_0) = M\) thì hàm số không có GTLN trên \(D\).
2. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số liên tục trên một Đoạn \([a; b]\)
Định lý đảm bảo rằng: Mọi hàm số liên tục trên đoạn \([a; b]\) đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
- Bước 1: Tìm các điểm \(x_1, x_2, \dots, x_n \in (a; b)\) mà tại đó \(f'(x) = 0\) hoặc đạo hàm không xác định.
- Bước 2: Tính các giá trị: \(f(a)\), \(f(b)\) và các giá trị \(f(x_1), f(x_2), \dots, f(x_n)\).
- Bước 3: So sánh các giá trị đã tính ở Bước 2.
- Số lớn nhất trong các giá trị đó là \(\max_{[a; b]} f(x)\).
- Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là \(\min_{[a; b]} f(x)\).
3. Phương pháp tìm GTLN và GTNN trên Khoảng hoặc Tập xác định
Khi tìm GTLN, GTNN trên một khoảng \((a; b)\), nửa khoảng hoặc trên toàn tập xác định \(D\), ta áp dụng phương pháp lập bảng biến thiên.
| Các bước thực hiện | Nội dung chi tiết |
|---|---|
| Bước 1 | Tính đạo hàm \(f'(x)\), tìm các điểm nghi vấn làm \(f'(x) = 0\) hoặc làm \(f'(x)\) không xác định. |
| Bước 2 | Lập Bảng biến thiên của hàm số trên tập / khoảng cần xét. |
| Bước 3 | Dựa vào Bảng biến thiên và giới hạn tại các đầu khoảng (nếu có) để kết luận GTLN, GTNN. |
Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \(K\) và chỉ có duy nhất một điểm cực trị \(x_0 \in K\):
- Nếu \(x_0\) là điểm cực đại thì \(f(x_0)\) đồng thời là GTLN của hàm số trên \(K\).
- Nếu \(x_0\) là điểm cực tiểu thì \(f(x_0)\) đồng thời là GTNN của hàm số trên \(K\).
4. Ví dụ minh họa
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\) trên đoạn \([-2; 4]\).
Hàm số liên tục trên đoạn \([-2; 4]\).
Tính đạo hàm: \(y' = 3x^2 - 6x - 9\).
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 \in [-2; 4] \\ x = 3 \in [-2; 4] \end{array}\right.\)
Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mot và các nghiệm thuộc đoạn:
- \(f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 2 = 0\)
- \(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 2 = 7\)
- \(f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 2 = -25\)
- \(f(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 9(4) + 2 = -14\)
So sánh các giá trị trên, ta có:
\[ \max_{[-2; 4]} y = 7 \quad \text{tại } x = -1 \] \[ \min_{[-2; 4]} y = -25 \quad \text{tại } x = 3 \]Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt{4 - x^2}\).
Tập xác định: \(4 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [-2; 2]\).
Hàm số liên tục trên đoạn \([-2; 2]\).
Đạo hàm: \(y' = \displaystyle\frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \displaystyle\frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}\) với \(x \in (-2; 2)\).
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in [-2; 2]\).
Tính các giá trị:
- \(f(-2) = \sqrt{4 - (-2)^2} = 0\)
- \(f(2) = \sqrt{4 - 2^2} = 0\)
- \(f(0) = \sqrt{4 - 0^2} = 2\)
Vậy \(\max_{[-2; 2]} y = 2\) tại \(x = 0\) và \(\min_{[-2; 2]} y = 0\) tại \(x = \pm 2\).
Một tấm tôn hình vuông cạnh \(60\text{ cm}\). Người ta cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập lại để tạo thành một hộp không nắp. Tìm độ dài cạnh hình vuông bị cắt sao cho thể tích của hộp đạt giá trị lớn nhất.
Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt là \(x\text{ (cm)}\). Điều kiện: \(0 < x < 30\).
Khi đó, đáy của hộp là hình vuông có cạnh dài \(60 - 2x\text{ (cm)}\), chiều cao của hộp là \(x\text{ (cm)}\).
Thể tích khối hộp thu được là:
\[ V(x) = x(60 - 2x)^2 = 4x(30 - x)^2 = 4x(900 - 60x + x^2) = 4(x^3 - 60x^2 + 900x) \]Xét hàm số \(V(x)\) trên khoảng \((0; 30)\):
\[ V'(x) = 4(3x^2 - 120x + 900) = 12(x^2 - 40x + 300) \]Cho \(V'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 10 \in (0; 30) \\ x = 30 \notin (0; 30) \end{array}\right.\)
Lập bảng biến thiên trên \((0; 30)\), ta thấy \(V'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua \(x = 10\). Do đó hàm số đạt cực đại duy nhất tại \(x = 10\).
Vậy cạnh hình vuông bị cắt dài \(10\text{ cm}\) thì thể tích hộp đạt giá trị lớn nhất.
5. Luyện tập tự giải
a) \(y = x^4 - 2x^2 + 3\) trên đoạn \([-2; 2]\)
b) \(y = \displaystyle\frac{x + 1}{x - 2}\) trên đoạn \([3; 5]\)
c) \(y = x + \displaystyle\frac{4}{x}\) trên đoạn \([1; 3]\)
6. Ghi nhớ & Tổng kết
- Cực trị: Mang tính chất địa phương (chỉ xét trong một khoảng lân cận xung quanh điểm đó). Một hàm số có thể có nhiều điểm cực đại, cực tiểu.
- GTLN / GTNN: Mang tính chất toàn cục (xét trên toàn bộ tập \(D\)). Hàm số trên một tập chỉ có tối đa một GTLN và một GTNN.
- Trên đoạn \([a; b]\): Lập danh sách nghiệm \(y' = 0\) thuộc đoạn \(\rightarrow\) Tính các giá trị \(f(a), f(b), f(x_i)\) \(\rightarrow\) So sánh kết luận.
- Trên khoảng \((a; b)\) / Tập xác định: Tính \(y'\) \(\rightarrow\) Lập Bảng biến thiên hoàn chỉnh \(\rightarrow\) Quan sát đỉnh cao nhất và đáy thấp nhất.