BÀI 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 3$ trên đoạn $[-3; 3]$.
$y' = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm\sqrt{2}$.
Tính: $y(-3) = 81 - 36 + 3 = 48$, $y(-\sqrt{2}) = 4 - 8 + 3 = -1$, $y(0) = 3$, $y(\sqrt{2}) = -1$, $y(3) = 48$.
GTNN: $y_{\min} = -1$ tại $x = \pm\sqrt{2}$.
GTLN: $y_{\max} = 48$ tại $x = \pm3$.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 2$ trên đoạn $[0; 3]$.
$y' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$, cho $y' = 0 \Rightarrow x = 0, 2$.
Tại $x = 0$: $y = 2$; $x = 2$: $y = 6$; $x = 3$: $y = 2$.
GTLN: $6$ tại $x = 2$; GTNN: $2$ tại $x = 0$ hoặc $3$.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = \dfrac{x}{x + 2}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
$y' = \dfrac{2}{(x + 2)^2} > 0$ với mọi $x > 0$ nên hàm đồng biến.
Vì $x \to 0^+$ thì $y \to 0$, $x \to +\infty$ thì $y \to 1$.
GTNN = 0 (giới hạn trái), GTLN = 1 (giới hạn phải).
Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = \dfrac{x^2 - 1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
$y = x - \dfrac{1}{x}$, $y' = 1 + \dfrac{1}{x^2} > 0$ với $x > 0$.
Hàm đồng biến ⇒ $y \to -\infty$ khi $x \to 0^+$ và $y \to +\infty$ khi $x \to +\infty$.
Không có GTLN, GTNN trên khoảng $(0; +\infty)$.
Tìm GTLN, GTNN của hàm $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ trên nửa khoảng $[0; +\infty)$.
$y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow x = 1, 3$.
$y(0)=1$, $y(1)=1-6+9+1=5$, $y(3)=27-54+27+1=1$.
$y$ tăng đến $x=1$, giảm đến $x=3$, rồi tăng tiếp ⇒ GTLN tại $x=1$, GTNN không có vì $y\to +\infty$ khi $x\to +\infty$.
GTLN = 5 tại x = 1.
Tìm GTLN, GTNN của hàm $y = 2x - \sqrt{x}$ trên nửa khoảng $[0; +\infty)$.
$y' = 2 - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, cho $y'=0 \Rightarrow 2 = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow \sqrt{x} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow x = \dfrac{1}{16}$.
Tại $x=0$: $y=0$; $x=\dfrac{1}{16}$: $y=\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{8}$; khi $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.
GTNN = -\dfrac{1}{8} tại x = \dfrac{1}{16}; không có GTLN.
Một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài 20m, người ta cắt bỏ ở mỗi góc một hình vuông cạnh $x$ m rồi gập lên tạo thành hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích hộp lớn nhất.
Gọi chiều rộng ban đầu là 10m. Khi đó thể tích hộp là $V = x(20 - 2x)(10 - 2x)$.
$V = 4x^3 - 60x^2 + 200x$, $V' = 12x^2 - 120x + 200 = 0$ ⇒ $x = 2$ hoặc $x = \dfrac{50}{3}$.
Chỉ $x = 2$ thỏa điều kiện $x < 5$. → $V_{\max}$ đạt tại $x = 2$ m.
Một người muốn làm hàng rào hình chữ nhật có diện tích 100 m². Tìm kích thước hình chữ nhật sao cho chu vi nhỏ nhất.
Gọi chiều dài là $x$, chiều rộng là $y$, ta có $xy = 100$.
Chu vi $P = 2(x + y) = 2(x + \dfrac{100}{x}) = 2x + \dfrac{200}{x}$.
$P' = 2 - \dfrac{200}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = 10$, $y = 10$.
Chu vi nhỏ nhất khi hình chữ nhật là hình vuông cạnh 10m.
