5 Bài toán thực tế về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Bài toán 1
Đề bài: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 20m. Tìm chiều dài và chiều rộng để diện tích của hình chữ nhật lớn nhất.
Lời giải:
Giả sử chiều dài là \( x \), chiều rộng là \( y \).
Ta có phương trình chu vi: \( 2(x + y) = 20 \), hay \( x + y = 10 \).
Diện tích của hình chữ nhật là \( S = x \times y \). Do \( y = 10 – x \), nên ta có \( S(x) = x(10 – x) = 10x – x^2 \).
Để tìm giá trị lớn nhất, ta tính đạo hàm của \( S(x) \): \( S'(x) = 10 – 2x \).
Cho \( S'(x) = 0 \), ta có \( x = 5 \).
Với \( x = 5 \), \( y = 10 – 5 = 5 \).
Vậy chiều dài và chiều rộng đều bằng 5m, diện tích lớn nhất là \( 25m^2 \).
Bài toán 2
Đề bài: Một dây cáp dài 30m được cắt thành hai đoạn. Một đoạn được dùng để tạo thành hình vuông, đoạn còn lại để tạo thành hình tròn. Tìm cách cắt để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất.
Lời giải:
Giả sử đoạn dây tạo hình vuông có độ dài là \( x \), đoạn dây tạo hình tròn là \( 30 – x \).
Chu vi hình vuông là \( 4a = x \) nên cạnh hình vuông là \( a = \frac{x}{4} \), diện tích của hình vuông là \( S_{vuong} = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16} \).
Chu vi hình tròn là \( 2\pi r = 30 – x \), nên bán kính hình tròn là \( r = \frac{30 – x}{2\pi} \), diện tích hình tròn là \( S_{tron} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{30 – x}{2\pi}\right)^2 = \frac{(30 – x)^2}{4\pi} \).
Tổng diện tích là: \( S(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(30 – x)^2}{4\pi} \).
Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta tính đạo hàm \( S'(x) \) và giải phương trình \( S'(x) = 0 \).
Sau khi giải, ta tìm được giá trị x để tổng diện tích nhỏ nhất là khoảng 12.5m cho hình vuông và 17.5m cho hình tròn.
Bài toán 3
Đề bài: Một công ty muốn thiết kế một thùng chứa hình trụ có thể tích 1000 lít (1m3). Tìm bán kính và chiều cao của thùng để diện tích vật liệu làm thùng là nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi bán kính đáy của thùng là \( r \) và chiều cao của thùng là \( h \).
Thể tích của thùng là: \( V = \pi r^2 h = 1 \, \text{m}^3 \).
Diện tích toàn phần của thùng là: \( S = 2\pi r^2 + 2\pi rh \).
Thay \( h = \frac{1}{\pi r^2} \) từ công thức thể tích vào công thức diện tích, ta có: \( S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2}{r} \).
Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S(r) \), ta tính đạo hàm và giải phương trình \( S'(r) = 0 \).
Sau khi giải, ta tìm được \( r \approx 0.54 \, \text{m} \) và \( h \approx 1.09 \, \text{m} \).
Bài toán 4
Đề bài: Một công ty muốn sản xuất một hộp hình chữ nhật không nắp với đáy hình vuông có thể tích 2000 cm³. Tìm kích thước của hộp để sử dụng ít vật liệu nhất.
Lời giải:
Gọi cạnh đáy của hộp là \( x \) và chiều cao của hộp là \( h \).
Thể tích của hộp là: \( V = x^2 h = 2000 \, \text{cm}^3 \).
Diện tích vật liệu cần dùng là: \( S = x^2 + 4xh \).
Thay \( h = \frac{2000}{x^2} \) vào công thức diện tích, ta có: \( S(x) = x^2 + 4x \cdot \frac{2000}{x^2} = x^2 + \frac{8000}{x} \).
Tính đạo hàm của \( S(x) \) và giải phương trình \( S'(x) = 0 \) để tìm giá trị nhỏ nhất.
Sau khi giải, ta tìm được \( x \approx 12.6 \, \text{cm} \) và \( h \approx 12.6 \, \text{cm} \).
Bài toán 5
Đề bài: Một nhà thầu xây dựng một tòa nhà với chi phí xây dựng dựa trên diện tích bề mặt ngoài của tòa nhà. Tòa nhà có thể tích cố định là 5000 m³. Tìm tỉ lệ giữa chiều dài, chiều rộng và chiều cao của tòa nhà để chi phí xây dựng là nhỏ nhất.
Lời giải:
Giả sử chiều dài là \( l \), chiều rộng là \( w \), và chiều cao là \( h \). Ta có: \( V = l \times w \times h = 5000 \, \text{m}^3 \).
Diện tích bề mặt ngoài là: \( S = 2(lw + lh + wh) \).
Từ phương trình thể tích, ta có thể viết \( h = \frac{5000}{lw} \) và thay vào phương trình diện tích.
Tiếp tục tính toán và giải đạo hàm để tìm ra tỉ lệ tối ưu giữa \( l \), \( w \) và \( h \) nhằm tối thiểu hóa diện tích bề mặt.
