BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
⏳ Thời gian còn lại: 15:00
Câu 1. Xét tính đơn điệu của hàm \(f(x)=x^3-3x^2+1\) trên \(\mathbb{R}\).
Tính đạo hàm: \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\).
Dấu: \(f'(x)>0\) khi \(x<0\) hoặc \(x>2\); \(f'(x)<0\) khi \(0
Câu 2. Xét tính đơn điệu của \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) trên miền xác định \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
\(g'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}<0\) với mọi \(x\neq1\).
Vậy \(g\) giảm trên mỗi khoảng \((-\infty,1)\) và \((1,\infty)\).
Câu 3. Xét tính đơn điệu của \(h(x)=\dfrac{x^2+4x+1}{x+2}\) trên miền xác định \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).
Dùng quy tắc thương:
\(h'(x)=\dfrac{(2x+4)(x+2)-(x^2+4x+1)}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x+1}{(x+2)^2}.\)
Phân tử \(x^2+4x+1\) có nghiệm \(x=-2\pm\sqrt3\) (xấp xỉ \(-3.732,\,-0.268\)).
Vì mẫu bình phương dương mọi nơi (ngoại trừ \(x=-2\)), dấu của \(h'\) giống dấu phân tử:
- \(h'>0\) với \(x<-3.732\) hoặc \(x>-0.268\) ⇒ tăng ở những khoảng đó;
- \(h'<0\) với \(-3.732
Câu 4. Tìm các điểm cực trị của \(F(x)=x^3-6x^2+9x+1.\)
\(F'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\).
Các điểm tới hạn: \(x=1,3\).
\(F''(x)=6x-12\Rightarrow F''(1)=-6<0\) (cực đại), \(F''(3)=6>0\) (cực tiểu).
Giá trị: \(F(1)=1-6+9+1=5,\; F(3)=27-54+27+1=1\).
Vậy: cực đại tại \((1,5)\), cực tiểu tại \((3,1)\).
Câu 5. Xét hàm \(p(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}\) trên miền xác định. Hàm có cực trị không?
\(p'(x)=\dfrac{3(x+2)-(3x-1)}{(x+2)^2}=\dfrac{7}{(x+2)^2}>0\) với mọi \(x\neq-2\).
Do đó \(p\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định và **không có cực trị**.
Câu 6. Cho \(s(x)=\dfrac{-x^2+4x+1}{x+1}\) (đơn vị tùy ý). Tìm các cực trị của \(s\).
Tính \(N(x)=-x^2+4x+1,\ N'(x)=-2x+4\).
\(s'(x)=\dfrac{N'(x)(x+1)-N(x)}{(x+1)^2}=\dfrac{-x^2-2x+3}{(x+1)^2} = -\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}.\)
Vậy \(s'(x)=0\) tại \(x=1\) và \(x=-3\). Kiểm tra dấu:
- \(x<-3\): \(s'<0\) ⇒ giảm → đến \(x=-3\) đổi sang \(s'>0\) ⇒ \(x=-3\) là cực tiểu.
- \(x=1\): trước đó \(s'>0\), sau \(s'<0\) ⇒ \(x=1\) là cực đại.
Giá trị: \(s(-3)=\dfrac{-9-12+1}{-2}=10,\ s(1)=\dfrac{-1+4+1}{2}=2\).
Câu 7. (Ứng dụng) Điện áp pin \(V(t)=12-0.05t\) (V), với \(t\) tính theo giờ. Xác định tính đơn điệu và tìm thời điểm \(t\) khi \(V(t)\le 11\) V.
\(V'(t)=-0.05<0\) ⇒ điện áp giảm theo thời gian.
Giải \(12-0.05t \le 11 \Rightarrow 0.05t \ge 1 \Rightarrow t\ge 20\) (giờ).
Câu 8. (Ứng dụng) Ôtô giảm tốc theo phương trình \(v(t)=60-5t\) (km/h) với \(t\) tính theo giờ, cho đến khi dừng. Khi nào tốc độ xuống dưới 30 km/h?
\(v'(t)=-5<0\) ⇒ tốc độ giảm. Giải \(60-5t<30 \Rightarrow 5t>30 \Rightarrow t>6\) (giờ).
(Lưu ý: nếu đơn vị giờ thì thời gian lớn; theo thực tế có thể dùng phút — ở đây giữ đơn vị do đề cho.)
Câu 9. (Ứng dụng) Dùng 100 m hàng rào làm 3 cạnh của chuồng dọc bờ sông (không làm hàng rào bên bờ). Gọi \(x\) là chiều rộng vuông góc với bờ. Tìm \(x\) để diện tích lớn nhất và diện tích tối đa.
Nếu hai cạnh vuông góc có độ dài \(x\) thì cạnh dọc bờ là \(y\) thỏa \(2x+y=100\Rightarrow y=100-2x\).
Diện tích \(A(x)=x y = x(100-2x)=100x-2x^2\).
\(A'(x)=100-4x=0 \Rightarrow x=25\). \(A''(x)=-4<0\) ⇒ max.
Diện tích lớn nhất \(A(25)=25(50)=1250\).
Câu 10. (Ứng dụng) Cắt bốn hình vuông cạnh \(x\) từ bốn góc tấm bìa kích thước \(12\times8\) cm rồi gấp thành hộp không nắp. Tìm \(x\) để thể tích cực đại (lấy nghiệm dương trong miền hợp lệ).
Thể tích \(V(x)=x(12-2x)(8-2x)=96x-40x^2+4x^3\), với miền \(0
