Lời giải:

Ta có $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.

– Với $x < 0$: $y' > 0$ → hàm đồng biến.
– Với $0 < x < 2$: $y' < 0$ → hàm nghịch biến.
– Với $x > 2$: $y' > 0$ → hàm đồng biến.

Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty, 0)$ và $(2, +\infty)$, nghịch biến trên $(0, 2)$.

$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)$.

Xét dấu $y'$ ta có:

• $y' > 0$ khi $x < -1$ hoặc $x > 1$
• $y' < 0$ khi $-1 < x < 0$ hoặc $0 < x < 1$

Vậy: – Đồng biến trên $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$ – Nghịch biến trên $(-1, 0)$ và $(0, 1)$

$y' = \dfrac{(2)(x - 1) - (2x + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{-3}{(x - 1)^2}$.

Vì $(x - 1)^2 > 0$ với mọi $x \ne 1$, nên $y' < 0$ với mọi $x \ne 1$.

Vậy hàm nghịch biến trên $(-\infty, 1)$ và $(1, +\infty)$.

$y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$.

$y' = 0$ tại $x = 1$ và $x = 3$.

Xét dấu $y'$: – Với $x < 1$: $y' > 0$ – Với $1 < x < 3$: $y' < 0$ – Với $x > 3$: $y' > 0$

→ Hàm đạt cực đại tại $x = 1$, cực tiểu tại $x = 3$.

$y(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$, $y(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$.

Cực đại: $x = 1$, $y = 5$; Cực tiểu: $x = 3$, $y = 1$.

$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)$.

$y' = 0$ tại $x = -1, 0, 1$.

Xét dấu $y'$ ta được: – Cực tiểu tại $x = -1$ và $x = 1$, – Cực đại tại $x = 0$.

$y(-1) = 1 - 2 + 3 = 2$, $y(0) = 3$, $y(1) = 2$.

Cực đại: $(0, 3)$; Cực tiểu: $(-1, 2)$ và $(1, 2)$.

$y' = \dfrac{(2x - 2)(x + 1) - (x^2 - 2x + 3)}{(x + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 4x - 5}{(x + 1)^2}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -5$.

Xét dấu $y'$ ta được: – $y' > 0$ trên $(-\infty, -5)$ và $(1, +\infty)$ – $y' < 0$ trên $(-5, -1)$ và $(-1, 1)$

→ Hàm đạt cực đại tại $x = -5$, cực tiểu tại $x = 1$.

$y(-5) = \dfrac{25 + 10 + 3}{-4} = -\dfrac{38}{4} = -9{,}5$ $y(1) = \dfrac{1 - 2 + 3}{2} = 1$

Cực đại: $(-5, -9{,}5)$; Cực tiểu: $(1, 1)$.