Giải Bài Tập Toán 12 - Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số (KNTT)

GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC Chương I - Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1.1: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

Đồ thị hàm số $y = x^3 - \frac{3}{2}x^2$ (H.1.11);
Đồ thị hàm số $y = \sqrt{(x^2 - 4)^2}$ (H.1.12).

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị H.1.11:
- Đồ thị đi lên từ trái sang phải trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(1; +\infty)$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(1; +\infty)$.
- Đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng $(0; 1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$.
b) Dựa vào đồ thị H.1.12:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-2; 0)$ và $(2; +\infty)$ (đồ thị đi lên).
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(0; 2)$ (đồ thị đi xuống).

Bài 1.2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

$y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$;
$y = -x^3 + 2x^2 - 5x + 3$.

Lời giải:

a) TẬP XÁC ĐỊNH: $D = \mathbb{R}$.
- Đạo hàm: $y' = x^2 - 4x + 3$.
- Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
- Dấu của $y'$: $y' > 0$ khi $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$; $y' < 0$ khi $x \in (1; 3)$.
- Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.
b) TẬP XÁC ĐỊNH: $D = \mathbb{R}$.
- Đạo hàm: $y' = -3x^2 + 4x - 5$.
- Vì $\Delta' = 2^2 - (-3)(-5) = -11 < 0$ và $a = -3 < 0$ nên $y' < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
- Kết luận: Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Bài 1.3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

$y = \frac{2x - 1}{x + 2}$;
$y = \frac{x^2 + x + 4}{x - 3}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
- Đạo hàm: $y' = \frac{2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2} > 0$ với mọi $x \neq -2$.
- Kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$.
b) Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.
- Đạo hàm: $y' = \frac{(2x + 1)(x - 3) - (x^2 + x + 4)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 7}{(x - 3)^2}$.
- Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 7$.
- $y' > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (7; +\infty)$; $y' < 0$ khi $x \in (-1; 3) \cup (3; 7)$.
- Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(7; +\infty)$; nghịch biến trên các khoảng $(-1; 3)$ và $(3; 7)$.

Bài 1.4: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

$y = \sqrt{4 - x^2}$;
$y = \frac{x}{x^2 + 1}$.

Lời giải:

a) Điều kiện: $4 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -2 \le x \le 2$. Tập xác định: $D = [-2; 2]$.
- Đạo hàm trên $(-2; 2)$: $y' = \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}$.
- $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
- $y' > 0$ khi $x \in (-2; 0)$; $y' < 0$ khi $x \in (0; 2)$.
- Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
- Đạo hàm: $y' = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.
- Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 1 - x^2 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 1$.
- $y' > 0$ khi $x \in (-1; 1)$; $y' < 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
- Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 1)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.

Bài 1.5: Giả sử số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $$N(t) = \frac{25t + 10}{t + 5}, \quad t \ge 0,$$ trong đó $N(t)$ được tính bằng nghìn người.

Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
Tính đạo hàm $N'(t)$ và $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.

Lời giải:

a)
- Năm 2000 ứng với $t = 0$: $N(0) = \frac{10}{5} = 2$ (nghìn người) = 2.000 người.
- Năm 2015 ứng với $t = 15$: $N(15) = \frac{25(15) + 10}{15 + 5} = \frac{385}{20} = 19,25$ (nghìn người) = 19.250 người.
b)
- Đạo hàm: $N'(t) = \frac{25(5) - 10(1)}{(t + 5)^2} = \frac{115}{(t + 5)^2} > 0$ với mọi $t \ge 0$.
- Giới hạn: $\lim_{t \to +\infty} N(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{25t + 10}{t + 5} = 25$.
- Giải thích: Vì $N'(t) > 0$ với mọi $t \ge 0$ nên số dân của thị trấn luôn tăng theo thời gian. Do $\lim_{t \to +\infty} N(t) = 25$, số dân tăng liên tục nhưng sẽ tiệm cận và không vượt quá ngưỡng 25 nghìn người (25.000 người).

Bài 1.6: Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f'(x)$ của hàm số $f(x)$ được cho trong Hình 1.13.

Hàm số $f(x)$ đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
Tại giá trị nào của $x$ thì $f(x)$ có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Lời giải:

a)
- Hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng mà $f'(x) > 0$ (đồ thị $f'(x)$ nằm phía trên trục hoành $Ox$).
- Dựa vào Hình 1.13, $f'(x) > 0$ trên các khoảng $(0; 2)$, $(4; 6)$ và $(6; +\infty)$.
- Kết luận: Hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $(0; 2)$ và $(4; +\infty)$.
b)
- Cực đại: Khi $x$ qua điểm $x = 2$, đồ thị $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm (nằm trên sang nằm dưới $Ox$), do đó $f(x)$ đạt cực đại tại $x = 2$.
- Cực tiểu: Khi $x$ qua các điểm $x = 0$ và $x = 4$, đồ thị $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương, do đó $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ và $x = 4$.
- Lưu ý: Tại $x = 6$, $f'(6) = 0$ nhưng $f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x = 6$ nên $x = 6$ không phải là điểm cực trị.

Bài 1.7: Tìm cực trị của các hàm số sau:

$y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$;
$y = x^4 - 4x^2 + 2$;
$y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$;
$y = \sqrt{4x - 2x^2}$.

Lời giải:

a) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$.
- $y' = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2)$.
- $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2$.
- Đổi dấu $y'$: Qua $x = 1$ từ $+$ sang $-$; Qua $x = 2$ từ $-$ sang $+$.
- Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$, $y_{CĐ} = y(1) = 0$; đạt cực tiểu tại $x = 2$, $y_{CT} = y(2) = -1$.
b) $y = x^4 - 4x^2 + 2$.
- $y' = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)$.
- $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm\sqrt{2}$.
- Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, $y_{CĐ} = y(0) = 2$; đạt cực tiểu tại $x = \pm\sqrt{2}$, $y_{CT} = y(\pm\sqrt{2}) = -2$.
c) $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$ ($D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$).
- $y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$.
- $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt{2}$ hoặc $x = 1 + \sqrt{2}$.
- Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại $x = 1 - \sqrt{2}$, $y_{CĐ} = 2 - 2\sqrt{2}$; đạt cực tiểu tại $x = 1 + \sqrt{2}$, $y_{CT} = 2 + 2\sqrt{2}$.
d) $y = \sqrt{4x - 2x^2}$. Điều kiện: $4x - 2x^2 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2$. Tập xác định: $D = [0; 2]$.
- $y' = \frac{4 - 4x}{2\sqrt{4x - 2x^2}} = \frac{2(1 - x)}{\sqrt{4x - 2x^2}}$ trên $(0; 2)$.
- $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$. $y'$ đổi dấu từ positive $(+)$ sang negative $(-)$ qua $x = 1$.
- Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$, $y_{CĐ} = y(1) = \sqrt{2}$. Hàm số không có cực tiểu.

Bài 1.8: Cho hàm số $y = f(x) = |x|$.

Tính các giới hạn $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ và $\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$. Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.
Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x = 0$ (xem Hình 1.4).

Lời giải:

a) Ta có $f(0) = |0| = 0$.
- Khi $x > 0$: $f(x) = x \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$.
- Khi $x < 0$: $f(x) = -x \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$.
- Do $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \neq \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ (1 $\neq -1$) nên không tồn tại $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$. Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.
b)
- Xét khoảng $K = (-1; 1)$ chứa điểm $x = 0$.
- Với mọi $x \in K$ và $x \neq 0$, ta có $f(x) = |x| > 0 = f(0)$.
- Theo định nghĩa điểm cực tiểu, tồn tại một khoảng chứa $x = 0$ sao cho $f(x) \ge f(0)$ với mọi $x$ thuộc khoảng đó. Vậy hàm số $f(x) = |x|$ đạt cực tiểu tại $x = 0$.

Bài 1.9: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $$f(t) = \frac{5000}{1 + 5e^{-t}}, \quad t \ge 0,$$ trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Lời giải:

Tốc độ bán hàng được cho bởi hàm số $g(t) = f'(t)$.
Tính $f'(t)$: $$f'(t) = 5000 \cdot \left[-(1 + 5e^{-t})^{-2} \cdot (-5e^{-t})\right] = \frac{25000 e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2}.$$
Để tìm thời điểm $t$ sao cho tốc độ bán hàng $g(t) = f'(t)$ đạt giá trị lớn nhất, ta xét đạo hàm $g'(t) = f''(t)$: $$\text{Đặt } u = e^{-t} \quad (u \in (0; 1]). \text{ Khi đó } f'(t) = \frac{25000 u}{(1 + 5u)^2}.$$ Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số $h(u) = \frac{u}{(1 + 5u)^2}$ với $u \in (0; 1]$: $$h'(u) = \frac{(1 + 5u)^2 - u \cdot 2(1 + 5u) \cdot 5}{(1 + 5u)^4} = \frac{1 + 5u - 10u}{(1 + 5u)^3} = \frac{1 - 5u}{(1 + 5u)^3}.$$ $h'(u) = 0 \Leftrightarrow 1 - 5u = 0 \Leftrightarrow u = \frac{1}{5}$.
Lập bảng biến thiên cho $h(u)$, ta thấy $h(u)$ đạt giá trị lớn nhất tại $u = \frac{1}{5}$.
Với $u = \frac{1}{5}$, ta có $e^{-t} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow -t = \ln\left(\frac{1}{5}\right) = -\ln 5 \Leftrightarrow t = \ln 5 \approx 1,61$ (năm).
Kết luận: Sau khoảng $\ln 5 \approx 1,61$ năm (tương đương khoảng 1 năm 7 tháng) kể từ khi phát hành thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.