5 Bài Toán Ứng Dụng Tính Đơn Điệu của Hàm Số
Bài Toán 1: Doanh Thu của Cửa Hàng
Một cửa hàng bán một loại sản phẩm với mức giá \( p \). Doanh thu \( R(p) \) của cửa hàng được cho bởi:
\(R(p) = -2p^2 + 100p\)Hãy xác định khoảng giá \( p \) để doanh thu tăng.
Để xét tính đơn điệu của \( R(p) \), ta tính đạo hàm:
\( R'(p) = -4p + 100 \)
Giải bất phương trình \( R'(p) > 0 \):
\(-4p + 100 > 0 \Rightarrow p < 25\)
Vậy doanh thu tăng khi \( p \) nằm trong khoảng \( (0;25) \).
Bài Toán 2: Tăng Trưởng Dân Số
Dân số \( P(t) \) của một thành phố sau \( t \) năm được mô tả bởi hàm số:
\(P(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 5\)Xác định khoảng thời gian dân số tăng.
Ta tính đạo hàm của \( P(t) \):
\( P'(t) = 3t^2 – 12t + 9 \)
Giải phương trình \( P'(t) = 0 \):
\( 3t^2 – 12t + 9 = 0 \Rightarrow t^2 – 4t + 3 = 0 \Rightarrow (t – 3)(t – 1) = 0 \)
Ta được \( t = 1 \) và \( t = 3 \).
Bảng xét dấu của \( P'(t) \):
- \( P'(t) > 0 \) khi \( t \in (0;1) \) và \( t \in (3;\infty) \)
- \( P'(t) < 0 \) khi \( t \in (1;3) \)
Vậy dân số tăng trong khoảng \( (0;1) \) và \( (3;\infty) \).
Bài Toán 3: Chi Phí Sản Xuất
Chi phí \( C(x) \) để sản xuất \( x \) đơn vị sản phẩm được cho bởi hàm số:
\(C(x) = x^2 – 8x + 20\)Tìm khoảng sản lượng \( x \) để chi phí giảm.
Tính đạo hàm của \( C(x) \):
\( C'(x) = 2x – 8 \)
Giải bất phương trình \( C'(x) < 0 \):
\( 2x – 8 < 0 \Rightarrow x < 4 \)
Vậy chi phí giảm khi sản lượng \( x \) nằm trong khoảng \( (0;4) \).
Bài Toán 4: Lợi Nhuận của Công Ty
Lợi nhuận \( L(x) \) khi bán \( x \) sản phẩm được cho bởi:
\(L(x) = -x^2 + 10x – 16\)Tìm khoảng \( x \) để lợi nhuận tăng.
Tính đạo hàm của \( L(x) \):
\( L'(x) = -2x + 10 \)
Giải bất phương trình \( L'(x) > 0 \):
\( -2x + 10 > 0 \Rightarrow x < 5 \)
Vậy lợi nhuận tăng khi \( x \) nằm trong khoảng \( (0;5) \).
Bài Toán 5: Tốc Độ của Xe Máy
Quãng đường \( s(t) \) mà một chiếc xe máy đi được sau \( t \) phút được cho bởi:
\(s(t) = t^3 – 3t^2 + 2t\)Tìm khoảng thời gian mà tốc độ của xe máy tăng.
Tính vận tốc \( v(t) = s'(t) \):
\( v(t) = 3t^2 – 6t + 2 \)
Tính đạo hàm của \( v(t) \) để xét gia tốc:
\( v'(t) = 6t – 6 \)
Giải bất phương trình \( v'(t) > 0 \):
\( 6t – 6 > 0 \Rightarrow t > 1 \)
Vậy tốc độ của xe máy tăng khi \( t > 1 \).
