BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

Theo quy tắc tính đạo hàm của tích hai hàm số, công thức đúng là \((uv)' = u'v + uv'\).

Chọn B.

Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)\):

\[f'(x) = (x^2)' + (\sin^2 x)' = 2x + 2\sin x \cos x = 2x + \sin 2x\]

Thay \(x = \frac{\pi}{2}\) vào đạo hàm:

\[f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} + \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \pi + \sin \pi = \pi + 0 = \pi\]

Chọn A.

Tính đạo hàm:

\[f'(x) = x^2 - 2x - 3\]

Giải bất phương trình \(f'(x) \le 0\):

\[x^2 - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x - 3) \le 0 \Leftrightarrow -1 \le x \le 3\]

Vậy tập nghiệm là \(S = [-1; 3]\).

Chọn B.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp \(\left(\sqrt{v}\right)' = \frac{v'}{2\sqrt{v}}\):

\[f'(x) = \frac{(4 + 3u(x))'}{2\sqrt{4 + 3u(x)}} = \frac{3u'(x)}{2\sqrt{4 + 3u(x)}}\]

Thay \(x = 1\) cùng với \(u(1) = 7\) và \(u'(1) = 10\):

\[f'(1) = \frac{3u'(1)}{2\sqrt{4 + 3u(1)}} = \frac{3 \cdot 10}{2\sqrt{4 + 3 \cdot 7}} = \frac{30}{2\sqrt{25}} = \frac{30}{2 \cdot 5} = 3\]

Chọn C.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích:

\[f'(x) = (x^2)' e^{-2x} + x^2 (e^{-2x})' = 2x e^{-2x} + x^2 (-2e^{-2x}) = 2x e^{-2x}(1 - x)\]

Giải phương trình \(f'(x) = 0\):

\[2x e^{-2x}(1 - x) = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \\ 1 - x = 0 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \\ x = 1 \end{bmatrix} \quad (\text{do } e^{-2x} > 0 \text{ với mọi } x)\]

Vậy tập nghiệm là \(S = \{0; 1\}\).

Chọn A.

• Vận tốc tức thời: \[v(t) = s'(t) = 0,8\pi \cos\left(0,8\pi t + \frac{\pi}{3}\right)\]
• Gia tốc tức thời: \[a(t) = v'(t) = -(0,8\pi)^2 \sin\left(0,8\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = -0,64\pi^2 \sin\left(0,8\pi t + \frac{\pi}{3}\right)\]
• Tại thời điểm vận tốc bằng 0: \[v(t) = 0 \Leftrightarrow \cos\left(0,8\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \Rightarrow \left|\sin\left(0,8\pi t + \frac{\pi}{3}\right)\right| = 1\]
• Giá trị tuyệt đối của gia tốc khi đó là: \[|a(t)| = |-0,64\pi^2 \times (\pm 1)| = 0,64\pi^2 \approx 0,64 \times (3,14159)^2 \approx 6,3165\text{ (cm/s}^2\text{)}\]

Giá trị này gần nhất với \(6,3\text{ cm/s}^2\).

Chọn C.

• Đạo hàm hàm số: \(y' = 3x^2 - 6x + 4\).
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x\) là: \[k = y'(x) = 3x^2 - 6x + 4 = 3(x^2 - 2x + 1) + 1 = 3(x - 1)^2 + 1 \ge 1\]
• Đẳng thức xảy ra khi \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến bằng 1.

Chọn A.

a) \(y = \left(\frac{2x - 1}{x + 2}\right)^5\):

\[y' = 5\left(\frac{2x - 1}{x + 2}\right)^4 \cdot \left(\frac{2x - 1}{x + 2}\right)' = 5\left(\frac{2x - 1}{x + 2}\right)^4 \cdot \frac{2(x + 2) - (2x - 1)}{(x + 2)^2}\] \[= 5\left(\frac{2x - 1}{x + 2}\right)^4 \cdot \frac{5}{(x + 2)^2} = \frac{25(2x - 1)^4}{(x + 2)^6}\]

b) \(y = \frac{2x}{x^2 + 1}\):

\[y' = \frac{(2x)'(x^2 + 1) - 2x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}\]

c) \(y = e^x \sin^2 x\):

\[y' = (e^x)' \sin^2 x + e^x (\sin^2 x)' = e^x \sin^2 x + e^x (2\sin x \cos x) = e^x \sin x (\sin x + 2\cos x)\]

d) \(y = \log(x + \sqrt{x})\) (với \(x > 0\)):

\[y' = \frac{(x + \sqrt{x})'}{(x + \sqrt{x}) \ln 10} = \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(x + \sqrt{x}) \ln 10} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}(x + \sqrt{x}) \ln 10}\]

a) Tập xác định tùy thuộc vào số mũ \(\alpha\):

• Nếu \(\alpha\) là số nguyên dương: Tập xác định là \(\mathbb{R}\).
• Nếu \(\alpha\) là số nguyên âm hoặc bằng 0: Tập xác định là \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
• Nếu \(\alpha\) không phải là số nguyên: Tập xác định là \((0; +\infty)\).

b) Tính đạo hàm với \(x > 0\):

Viết \(y = e^{\alpha \ln x}\). Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp mũ \(y' = (e^u)' = u' e^u\):

\[y' = (\alpha \ln x)' \cdot e^{\alpha \ln x} = \left(\alpha \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x^\alpha = \alpha \cdot x^{\alpha - 1}\]

Vậy ta được công thức đạo hàm hàm lũy thừa \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}\).

• Tính \(f(1) = \sqrt{3(1) + 1} = \sqrt{4} = 2\).
• Tính đạo hàm \(f'(x) = \frac{(3x + 1)'}{2\sqrt{3x + 1}} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}\).
  Suy ra \(f'(1) = \frac{3}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{4}\).
• Thay vào biểu thức \(g(x)\): \[g(x) = 2 + 4(x^2 - 1) \cdot \frac{3}{4} = 2 + 3(x^2 - 1)\]
• Tính \(g(2)\): \[g(2) = 2 + 3(2^2 - 1) = 2 + 3(3) = 2 + 9 = 11\]

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• Đạo hàm cấp một (với \(x \neq 1\)): \[f'(x) = \frac{(1)(x - 1) - (x + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2} = -2(x - 1)^{-2}\]
• Đạo hàm cấp hai (với \(x \neq 1\)): \[f''(x) = \left[-2(x - 1)^{-2}\right]' = -2 \cdot (-2)(x - 1)^{-3} \cdot (x - 1)' = \frac{4}{(x - 1)^3}\]
• Do hàm số và các đạo hàm không xác định tại \(x = 1\), nên không tồn tại \(f''(1)\).

• Theo giả thiết \(f'(x) = x^2 f(x)\), lấy đạo hàm hai vế theo quy tắc đạo hàm của tích: \[f''(x) = (x^2 f(x))' = (x^2)' f(x) + x^2 f'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x)\]
• Tính \(f'(1)\): \[f'(1) = 1^2 \cdot f(1) = 1 \cdot 2 = 2\]
• Tính \(f''(1)\): \[f''(1) = 2(1) f(1) + 1^2 f'(1) = 2(2) + 1(2) = 4 + 2 = 6\]

Vậy \(f''(1) = 6\).

Xét hàm số \(y = f(x) = -x^3 + 3x^2 - 1\).

• Hoành độ tiếp điểm \(x_0 = 1 \Rightarrow\) Tung độ tiếp điểm: \[y_0 = f(1) = -(1)^3 + 3(1)^2 - 1 = 1\] Vậy tiếp điểm là \(M_0(1; 1)\).
• Đạo hàm \(f'(x) = -3x^2 + 6x\).
  Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x_0 = 1\): \[k = f'(1) = -3(1)^2 + 6(1) = 3\]
• Phương trình tiếp tuyến tại \(M_0(1; 1)\): \[y - 1 = 3(x - 1) \Leftrightarrow y = 3x - 2\]

• Xét điểm \(M_0\left(x_0; \frac{a}{x_0}\right)\) bất kỳ thuộc đồ thị (\(x_0 \neq 0\)).
• Đạo hàm \(y' = -\frac{a}{x^2} \Rightarrow\) Hệ số góc tiếp tuyến tại \(M_0\) là \(k = y'(x_0) = -\frac{a}{x_0^2}\).
• Phương trình tiếp tuyến \(d\) tại \(M_0\): \[y - \frac{a}{x_0} = -\frac{a}{x_0^2}(x - x_0) \Leftrightarrow y = -\frac{a}{x_0^2} x + \frac{2a}{x_0}\]
• Tìm giao điểm của tiếp tuyến \(d\) với các trục tọa độ:
  - Giao điểm với trục \(Oy\) (cho \(x = 0\)): \(A\left(0; \frac{2a}{x_0}\right) \Rightarrow OA = \left|\frac{2a}{x_0}\right|\).
  - Giao điểm với trục \(Ox\) (cho \(y = 0\)): \(-\frac{a}{x_0^2} x + \frac{2a}{x_0} = 0 \Leftrightarrow x = 2x_0 \Rightarrow B(2x_0; 0) \Rightarrow OB = |2x_0|\).
• Diện tích tam giác vuông \(OAB\) tạo bởi tiếp tuyến và hai trục tọa độ: \[S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \left|\frac{2a}{x_0}\right| \cdot |2x_0| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{|x_0|} \cdot 2|x_0| = 2a\text{ (không đổi)}\]

Vậy diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến với các trục tọa độ luôn bằng \(2a\) (không phụ thuộc vào vị trí tiếp điểm \(M_0\)) (đpcm).

• Gọi ba đường cong trong Hình 9.10 lần lượt là đường $a$, đường $b$ và đường $c$.
• Mối liên hệ đạo hàm: Vận tốc $v(t) = s'(t)$ là đạo hàm của hàm vị trí $s(t)$, và gia tốc $a(t) = v'(t) = s''(t)$ là đạo hàm của hàm vận tốc $v(t)$.
  - Đạo hàm tại điểm cực trị bằng 0: Khi hàm số đạt cực trị (đỉnh của đường cong), đường biểu diễn đạo hàm của nó phải cắt trục hoành (giá trị bằng 0).
• Phân tích đồ thị:
  - Điểm cực đại của đường cong $a$ có hoành độ ứng với điểm mà đường cong $b$ cắt trục hoành $Ot$ (giá trị bằng 0). Do đó, đường $b$ là đạo hàm của đường $a$.
  - Điểm cực đại của đường cong $b$ có hoành độ ứng với điểm mà đường cong $c$ cắt trục hoành $Ot$ (giá trị bằng 0). Do đó, đường $c$ là đạo hàm của đường $b$.
• Kết luận:
  - Đường cong $a$: Đồ thị hàm vị trí $s(t)$ của ô tô.
  - Đường cong $b$: Đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ của ô tô.
  - Đường cong $c$: Đồ thị hàm gia tốc $a(t)$ của ô tô.

Phương trình vận tốc \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9\).
Phương trình gia tốc \(a(t) = v'(t) = 6t - 12\).

a) Vận tốc tại \(t = 2\) giây và \(t = 4\) giây:

\[v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3\text{ (m/s)}\] \[v(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9\text{ (m/s)}\]

b) Thời điểm vật đứng yên (\(v(t) = 0\)):

\[3t^2 - 12t + 9 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} t = 1\text{ (s)} \\ t = 3\text{ (s)} \end{bmatrix}\]

c) Gia tốc tại thời điểm \(t = 4\) giây:

\[a(4) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12\text{ (m/s}^2\text{)}\]

d) Tổng quãng đường đi được trong 5 giây đầu (\(t \in [0; 5]\)):

• Tại \(t = 0\): \(s(0) = 0\text{ m}\).
• Vật đổi chiều chuyển động tại \(t = 1\) và \(t = 3\).
• Tại \(t = 1\): \(s(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4\text{ m} \Rightarrow s_1 = |4 - 0| = 4\text{ m}\).
• Tại \(t = 3\): \(s(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0\text{ m} \Rightarrow s_2 = |0 - 4| = 4\text{ m}\).
• Tại \(t = 5\): \(s(5) = 5^3 - 6(5)^2 + 9(5) = 20\text{ m} \Rightarrow s_3 = |20 - 0| = 20\text{ m}\).

Tổng quãng đường: \(S = s_1 + s_2 + s_3 = 4 + 4 + 20 = 28\text{ m}\).

e) Thời gian vật tăng tốc, giảm tốc trong 5 giây đầu (\(t \in [0; 5]\)):

Vật tăng tốc khi \(v(t) \cdot a(t) > 0\) và giảm tốc khi \(v(t) \cdot a(t) < 0\):

• \(a(t) = 6t - 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
• Trong khoảng \((0; 1)\): \(v(t) > 0, a(t) < 0 \Rightarrow\) Giảm tốc.
• Trong khoảng \((1; 2)\): \(v(t) < 0, a(t) < 0 \Rightarrow\) Tăng tốc.
• Trong khoảng \((2; 3)\): \(v(t) < 0, a(t) > 0 \Rightarrow\) Giảm tốc.
• Trong khoảng \((3; 5)\): \(v(t) > 0, a(t) > 0 \Rightarrow\) Tăng tốc.

Vậy trong 5 giây đầu tiên:

• Vật tăng tốc trong các khoảng thời gian \((1; 2)\) giây và \((3; 5)\) giây.
• Vật giảm tốc trong các khoảng thời gian \((0; 1)\) giây và \((2; 3)\) giây.