Câu 1. Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x \in (a; b)\). Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f(x)\), ký hiệu là \(f''(x)\) hoặc \(y''\), được định nghĩa là:
Giải thích: Theo định nghĩa, đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f(x)\) là đạo hàm của đạo hàm cấp nhất: \(f''(x) = (f'(x))'\).
Câu 2. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp hai: Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình quãng đường theo thời gian là \(s = s(t)\). Gia tốc tức thời \(a(t)\) của chất điểm tại thời điểm \(t\) được tính bằng công thức nào sau đây?
Giải thích: Gia tốc tức thời là tốc độ biến thiên của vận tốc tức thời theo thời gian, do đó \(a(t) = v'(t) = s''(t)\).
Câu 3. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 3\).
Giải thích:
Đạo hàm cấp nhất: \(y' = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x\).
Đạo hàm cấp hai: \(y'' = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4\).
Câu 4. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số mũ \(y = e^{2x + 1}\).
Giải thích:
Đạo hàm cấp nhất: \(y' = (2x + 1)' \cdot e^{2x + 1} = 2e^{2x + 1}\).
Đạo hàm cấp hai: \(y'' = (2e^{2x + 1})' = 2 \cdot (2x + 1)' \cdot e^{2x + 1} = 4e^{2x + 1}\).
Câu 5. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số lôgarit \(y = \ln(3x + 1)\) với \(x > -\frac{1}{3}\).
Giải thích:
Đạo hàm cấp nhất: \(y' = \frac{(3x + 1)'}{3x + 1} = \frac{3}{3x + 1} = 3(3x + 1)^{-1}\).
Đạo hàm cấp hai: \(y'' = \left(3(3x + 1)^{-1}\right)' = 3 \cdot (-1)(3x + 1)^{-2} \cdot (3x + 1)' = -3 \cdot 3 \cdot (3x + 1)^{-2} = -\frac{9}{(3x + 1)^2}\).
Câu 6. Cho hàm số \(y = \cos 2x\). Đạo hàm cấp hai \(y''\) của hàm số là:
Giải thích:
\(y' = (\cos 2x)' = -2\sin 2x\).
\(y'' = (-2\sin 2x)' = -2 \cdot 2 \cos 2x = -4\cos 2x\).
Câu 7. Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{1}{x}\) (với \(x \neq 0\)) là:
Giải thích:
\(y' = \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} = -x^{-2}\).
\(y'' = (-x^{-2})' = -(-2)x^{-3} = \frac{2}{x^3}\).
Câu 8. Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sqrt{2x + 1}\) (với \(x > -\frac{1}{2}\)) là:
Giải thích:
\(y' = \frac{(2x+1)'}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = (2x+1)^{-\frac{1}{2}}\).
\(y'' = \left((2x+1)^{-\frac{1}{2}}\right)' = -\frac{1}{2}(2x+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2 = -(2x+1)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{(2x+1)\sqrt{2x+1}}\).
Câu 9. Cho hàm số \(y = f(x) = x \cdot \sin x\). Đạo hàm cấp hai \(f''(0)\) bằng bao nhiêu?
Giải thích:
\(f'(x) = (x)'\sin x + x(\sin x)' = \sin x + x\cos x\).
\(f''(x) = (\sin x)' + (x\cos x)' = \cos x + (1 \cdot \cos x - x\sin x) = 2\cos x - x\sin x\).
Thay \(x = 0\): \(f''(0) = 2\cos 0 - 0 \cdot \sin 0 = 2(1) - 0 = 2\).
Câu 10 Thực tế. Một đoàn tàu cao tốc đang hãm phanh chuyển động chậm dần đều. Quãng đường tàu đi được kể từ thời điểm bắt đầu hãm phanh (\(t = 0\)) đến thời điểm \(t\) (tính bằng giây) tuân theo phương trình:
\(s(t) = 30t - \frac{1}{2}t^2\) (mét).
Gia tốc của đoàn tàu tại thời điểm hãm phanh là bao nhiêu?
Giải thích:
Vận tốc tức thời: \(v(t) = s'(t) = \left(30t - \frac{1}{2}t^2\right)' = 30 - t\text{ (m/s)}\).
Gia tốc tức thời: \(a(t) = v'(t) = s''(t) = (30 - t)' = -1\text{ (m/s}^2\text{)}\).
Do gia tốc không phụ thuộc vào thời gian \(t\) (chuyển động chậm dần đều), gia tốc hãm phanh luôn là \(-1\text{ m/s}^2\) (dấu âm thể hiện lực hãm làm chuyển động chậm dần).