📘 BÀI HỌC TOÁN 11: ĐẠO HÀM CẤP HAI
Sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
1. Khái niệm Đạo hàm cấp hai
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in (a; b)\). Khi đó, \(f'(x)\) lại là một hàm số xác định trên \((a; b)\).
Nếu hàm số \(f'(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x\) thì đạo hàm của \(f'(x)\) được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số \(f(x)\) tại \(x\), ký hiệu là \(y''\) hoặc \(f''(x)\).
\[ f''(x) = (f'(x))' \]- Đạo hàm của đạo hàm cấp hai được gọi là **đạo hàm cấp ba**, ký hiệu là \(y'''\) hoặc \(f'''(x)\).
- Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp \((n-1)\) được gọi là **đạo hàm cấp \(n\)**, ký hiệu là \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x)\).
2. Ý nghĩa cơ học của Đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai có ứng dụng trực tiếp và rất quan trọng trong Vật lý, đặc biệt là khi mô tả chuyển động của một vật.
Xét chuyển động thẳng của một vật có phương trình chuyển động \(s = s(t)\), trong đó \(t\) là thời gian, \(s(t)\) là quãng đường đi được:
- Đạo hàm cấp một \(v(t) = s'(t)\) là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t\).
- Đạo hàm cấp hai \(a(t) = s''(t) = v'(t)\) là gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t\).
Quãng đường \(s(t) \xrightarrow{\text{Lấy đạo hàm}} \) Vận tốc \(v(t) \xrightarrow{\text{Lấy đạo hàm}} \) Gia tốc \(a(t)\).
3. Công thức Đạo hàm cấp hai của một số hàm thường gặp
Để tính đạo hàm cấp hai, ta tính đạo hàm cấp một \(f'(x)\) trước, sau đó tiếp tục đạo hàm kết quả đó một lần nữa.
| Hàm số \(y = f(x)\) | Đạo hàm cấp 1: \(y'\) | Đạo hàm cấp 2: \(y''\) |
|---|---|---|
| \(y = x^n \quad (n \ge 2)\) | \(y' = n \cdot x^{n-1}\) | \(y'' = n(n - 1) \cdot x^{n-2}\) |
| \(y = \sin(ax + b)\) | \(y' = a \cdot \cos(ax + b)\) | \(y'' = -a^2 \cdot \sin(ax + b)\) |
| \(y = \cos(ax + b)\) | \(y' = -a \cdot \sin(ax + b)\) | \(y'' = -a^2 \cdot \cos(ax + b)\) |
| \(y = e^{ax}\) | \(y' = a \cdot e^{ax}\) | \(y'' = a^2 \cdot e^{ax}\) |
| \(y = \ln x \quad (x > 0)\) | \(y' = \dfrac{1}{x}\) | \(y'' = -\dfrac{1}{x^2}\) |
4. Ví dụ minh họa
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y = x^5 - 2x^3 + 4x - 7\)
b) \(y = \sin(2x)\)
a) Ta có:
\[ y' = (x^5 - 2x^3 + 4x - 7)' = 5x^4 - 6x^2 + 4 \]Lấy đạo hàm cấp hai:
\[ y'' = (5x^4 - 6x^2 + 4)' = 20x^3 - 12x \]b) Ta có:
\[ y' = (\sin(2x))' = (2x)' \cdot \cos(2x) = 2\cos(2x) \]Lấy đạo hàm cấp hai:
\[ y'' = (2\cos(2x))' = 2 \cdot (2x)' \cdot (-\sin(2x)) = -4\sin(2x) \]Một vật chuyển động thẳng có phương trình quãng đường theo thời gian là \(s(t) = t^3 - 3t^2 + 5t + 2\) (với \(s\) tính bằng mét, \(t\) tính bằng giây).
a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 3\text{s}\).
b) Tính gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 3\text{s}\).
a) Hàm vận tốc tức thời của vật là:
\[ v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t + 5 \]Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 3\text{s}\) là:
\[ v(3) = 3 \cdot (3)^2 - 6 \cdot (3) + 5 = 27 - 18 + 5 = 14\text{ (m/s)} \]b) Hàm gia tốc tức thời của vật là đạo hàm cấp hai của phương trình quãng đường:
\[ a(t) = s''(t) = v'(t) = 6t - 6 \]Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 3\text{s}\) là:
\[ a(3) = 6 \cdot (3) - 6 = 12\text{ (m/s}^2) \]Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = x \cdot e^x\)
Tính đạo hàm cấp một theo quy tắc tích \((uv)' = u'v + uv'\):
\[ y' = (x)' \cdot e^x + x \cdot (e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (x + 1)e^x \]Tính đạo hàm cấp hai:
\[ y'' = ((x + 1)e^x)' = (x + 1)' \cdot e^x + (x + 1) \cdot (e^x)' \] \[ y'' = 1 \cdot e^x + (x + 1) \cdot e^x = (x + 2)e^x \]5. Luyện tập tự giải
a) \(y = 2x^4 - 3x^2 + 1\)
b) \(y = \dfrac{1}{x - 1}\)
c) \(y = \cos(3x + 1)\)
a) Tìm thời điểm \(t\) mà tại đó gia tốc của vật bị triệt tiêu (\(a(t) = 0\)).
b) Tính vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu đó.
6. Ghi nhớ & Tổng kết
- Bước 1: Tính đạo hàm cấp một \(y' = f'(x)\) bằng các quy tắc đã học. Rút gọn kết quả nếu có thể.
- Bước 2: Tính đạo hàm của \(y'\) để thu được \(y'' = (y')'\).
- \(v(t) = s'(t)\): Vận tốc là đạo hàm cấp 1 của quãng đường theo thời gian.
- \(a(t) = v'(t) = s''(t)\): Gia tốc là đạo hàm cấp 1 của vận tốc, hoặc đạo hàm cấp 2 của quãng đường.