BÀI 33: ĐẠO HÀM CẤP HAI
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

• Tính đạo hàm cấp một \(f'(x)\): \[f'(x) = (x^2)' e^x + x^2 (e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x = (x^2 + 2x) e^x\]
• Tính đạo hàm cấp hai \(f''(x)\): \[f''(x) = (f'(x))' = (x^2 + 2x)' e^x + (x^2 + 2x) (e^x)'\] \[= (2x + 2) e^x + (x^2 + 2x) e^x = (x^2 + 4x + 2) e^x\]
• Tính \(f''(0)\): \[f''(0) = (0^2 + 4 \cdot 0 + 2) e^0 = 2 \cdot 1 = 2\]

Vậy \(f''(0) = 2\).

a) \(y = \ln(x + 1)\) (với \(x > -1\)):

• Đạo hàm cấp một: \[y' = \frac{(x + 1)'}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} = (x + 1)^{-1}\]
• Đạo hàm cấp hai: \[y'' = (y')' = \left[(x + 1)^{-1}\right]' = -1 \cdot (x + 1)^{-2} \cdot (x + 1)' = -\frac{1}{(x + 1)^2}\]

b) \(y = \tan 2x\) (với \(x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\)):

• Đạo hàm cấp một: \[y' = \frac{(2x)'}{\cos^2 2x} = \frac{2}{\cos^2 2x} = 2(\cos 2x)^{-2}\]
• Đạo hàm cấp hai: \[y'' = (y')' = \left[2(\cos 2x)^{-2}\right]' = 2 \cdot (-2) (\cos 2x)^{-3} \cdot (\cos 2x)'\] \[= -4 (\cos 2x)^{-3} \cdot (-2\sin 2x) = \frac{8\sin 2x}{\cos^3 2x}\]

• Tính đạo hàm cấp một: \[P'(x) = 2ax + b\]
• Tính đạo hàm cấp hai: \[P''(x) = (2ax + b)' = 2a\]
• Theo giả thiết:
  - \(P''(1) = -2 \Rightarrow 2a = -2 \Leftrightarrow a = -1\).
  - \(P'(1) = 0 \Rightarrow 2a(1) + b = 0 \Leftrightarrow 2(-1) + b = 0 \Leftrightarrow b = 2\).

Vậy \(a = -1\) và \(b = 2\).

• Sử dụng công thức hạ bậc: \[f(x) = 2 \cdot \frac{1 - \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right)}{2} = 1 - \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = 1 + \sin 2x\]
• Tính đạo hàm cấp một: \[f'(x) = (1 + \sin 2x)' = 2\cos 2x\]
• Tính đạo hàm cấp hai: \[f''(x) = (2\cos 2x)' = -4\sin 2x\]
• Đánh giá độ lớn của đạo hàm cấp hai:
  Vì \(-1 \le \sin 2x \le 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên: \[|f''(x)| = |-4\sin 2x| = 4|\sin 2x| \le 4 \times 1 = 4\]

Vậy \(|f''(x)| \le 4\) với mọi \(x\) (đpcm).

• Vận tốc tức thời \(v(t)\) là đạo hàm cấp một của quãng đường \(s(t)\): \[v(t) = s'(t) = \left[10 + 0,5\sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{5}\right)\right]' = 0,5 \cdot 2\pi \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{5}\right) = \pi \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{5}\right)\text{ (cm/s)}\]
• Gia tốc tức thời \(a(t)\) là đạo hàm cấp hai của quãng đường \(s(t)\) (hay đạo hàm cấp một của vận tốc \(v(t)\)): \[a(t) = s''(t) = v'(t) = \left[\pi \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{5}\right)\right]' = -\pi \cdot 2\pi \sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{5}\right) = -2\pi^2 \sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{5}\right)\text{ (cm/s}^2\text{)}\]
• Gia tốc của hạt tại thời điểm \(t = 5\) giây: \[a(5) = -2\pi^2 \sin\left(2\pi \cdot 5 + \frac{\pi}{5}\right) = -2\pi^2 \sin\left(10\pi + \frac{\pi}{5}\right) = -2\pi^2 \sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\] \[a(5) \approx -2 \times (3,14159)^2 \times \sin(36^\circ) \approx -19,7392 \times 0,5878 \approx -11,60\text{ (cm/s}^2\text{)}\]

Vậy gia tốc của hạt tại thời điểm \(t = 5\) giây xấp xỉ \(-11,6\text{ cm/s}^2\).