Câu 1. Đạo hàm của hàm số \(y = x^n\) (\(n \in \mathbb{N}, n > 1\)) trên \(\mathbb{R}\) bằng:
Giải thích: Công thức đạo hàm cơ bản của hàm số lũy thừa: \((x^n)' = n x^{n-1}\).
Câu 2. Khẳng định nào sau đây là **sai** về quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số (giả sử các đạo hàm đều tồn tại)?
Giải thích: Đạo hàm của tích hai hàm số tuân theo quy tắc \((uv)' = u'v + uv'\), do đó khẳng định \((uv)' = u'v'\) là sai.
Câu 3. Đạo hàm của hàm số \(y = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\) là:
Giải thích: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm đa thức:
\(y' = 3(x^4)' - 2(x^2)' + 5(x)' - (7)' = 3(4x^3) - 2(2x) + 5(1) - 0 = 12x^3 - 4x + 5\).
Câu 4. Cho hàm số \(y = \sqrt{x}\) với \(x > 0\). Đạo hàm của hàm số này là:
Giải thích: Theo công thức đạo hàm cơ bản của hàm số chứa căn thức: \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) với mọi \(x > 0\).
Câu 5. Đạo hàm của hàm số lượng giác \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) lần lượt là:
Giải thích: Công thức đạo hàm các hàm số lượng giác cơ bản: \((\sin x)' = \cos x\) và \((\cos x)' = -\sin x\).
Câu 6. Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x + 1}\) (với \(x \neq -1\)) là:
Giải thích: Áp dụng công thức đạo hàm hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)' = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2}\):
\(y' = \frac{2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2 + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}\).
Câu 7. Cho hàm số hợp \(y = f(u)\) với \(u = u(x)\). Đạo hàm của hàm số hợp theo biến \(x\) được tính bằng công thức nào sau đây?
Giải thích: Định lý đạo hàm hàm hợp: Nếu \(u = u(x)\) có đạo hàm tại \(x\) là \(u'_x\) và \(y = f(u)\) có đạo hàm tại \(u\) là \(y'_u\) thì hàm hợp \(y = f(u(x))\) có đạo hàm tại \(x\) là \(y'_x = y'_u \cdot u'_x\).
Câu 8. Đạo hàm của hàm số \(y = (x^2 + 1)^5\) là:
Giải thích: Đặt \(u = x^2 + 1 \Rightarrow y = u^5\).
Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp \((u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'\):
\(y' = 5(x^2 + 1)^4 \cdot (x^2 + 1)' = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4\).
Câu 9. Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\) trên các khoảng xác định là:
Giải thích: Công thức đạo hàm hàm tang: \((\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\) với \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\).
Câu 10 Thực tế. Một công ty sản xuất đồ điện tử xác định tổng chi phí (tính bằng triệu đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm trong một ngày được cho bởi hàm số:
\(C(x) = 0,05x^2 + 20x + 500\).
Chi phí biên (Marginal Cost) tại mức sản lượng \(x_0\) là tốc độ thay đổi tức thời của tổng chi phí theo số lượng sản phẩm sản xuất, được tính bằng đạo hàm \(C'(x_0)\). Hãy tính chi phí biên khi công ty sản xuất \(100\) sản phẩm trong ngày.
Giải thích:
Tính đạo hàm hàm chi phí: \(C'(x) = (0,05x^2 + 20x + 500)' = 0,05 \cdot 2x + 20 = 0,1x + 20\).
Chi phí biên khi sản xuất \(100\) sản phẩm chính là giá trị đạo hàm tại \(x = 100\):
\(C'(100) = 0,1 \cdot 100 + 20 = 10 + 20 = 30\) (triệu đồng/sản phẩm).
