📘 BÀI HỌC TOÁN 11: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Đầy đủ)
📋 Bảng Đạo Hàm Các Hàm Số Sơ Cấp Thường Gặp (SGK KNTT)
Dưới đây là bảng tổng hợp đầy đủ các công thức đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp \(u = u(x)\):
| Đạo hàm của hàm số sơ cấp | Đạo hàm của hàm hợp \(u = u(x)\) |
|---|---|
| 1. Hàm đa thức, Lũy thừa, Căn thức | |
| \((c)' = 0\) (với \(c\) là hằng số) | — |
| \((x)' = 1\) | — |
| \((x^n)' = n \cdot x^{n-1} \quad (n \in \mathbb{R})\) | \((u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'\) |
| \((\sqrt{x})' = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}} \quad (x > 0)\) | \((\sqrt{u})' = \displaystyle\frac{u'}{2\sqrt{u}} \quad (u > 0)\) |
| \(\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)' = -\displaystyle\frac{1}{x^2} \quad (x \neq 0)\) | \(\left(\displaystyle\frac{1}{u}\right)' = -\displaystyle\frac{u'}{u^2} \quad (u \neq 0)\) |
| 2. Hàm số lượng giác | |
| \((\sin x)' = \cos x\) | \((\sin u)' = u' \cdot \cos u\) |
| \((\cos x)' = -\sin x\) | \((\cos u)' = -u' \cdot \sin u\) |
| \((\tan x)' = \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\) | \((\tan u)' = \displaystyle\frac{u'}{\cos^2 u} = u'(1 + \tan^2 u)\) |
| \((\cot x)' = -\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)\) | \((\cot u)' = -\displaystyle\frac{u'}{\sin^2 u} = -u'(1 + \cot^2 u)\) |
| 3. Hàm số Mũ và Lôgarit | |
| \((e^x)' = e^x\) | \((e^u)' = u' \cdot e^u\) |
| \((a^x)' = a^x \ln a \quad (0 < a \neq 1)\) | \((a^u)' = u' \cdot a^u \ln a \quad (0 < a \neq 1)\) |
| \((\ln |x|)' = \displaystyle\frac{1}{x} \quad (x \neq 0)\) | \((\ln |u|)' = \displaystyle\frac{u'}{u} \quad (u \neq 0)\) |
| \((\log_a |x|)' = \displaystyle\frac{1}{x \ln a} \quad (0 < a \neq 1, x \neq 0)\) | \((\log_a |u|)' = \displaystyle\frac{u'}{u \ln a} \quad (0 < a \neq 1, u \neq 0)\) |
1. Đạo hàm của Hàm đa thức, Lũy thừa và Căn thức
- \((c)' = 0\) (với \(c\) là hằng số)
- \((x)' = 1\)
- \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\) (với \(n \in \mathbb{R}\))
- \((\sqrt{x})' = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\) (với \(x > 0\))
2. Đạo hàm của các Hàm số Lượng giác
- \((\sin x)' = \cos x\)
- \((\cos x)' = -\sin x\)
- \((\tan x)' = \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \quad \left(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi\right)\)
- \((\cot x)' = -\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \quad (x \neq k\pi)\)
3. Đạo hàm của Hàm số Mũ và Lôgarit
- \((\ln x)' = \displaystyle\frac{1}{x} \quad (x > 0)\)
- \((\log_a x)' = \displaystyle\frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0, 0 < a \neq 1)\)
- \((e^x)' = e^x\)
- \((a^x)' = a^x \ln a \quad (0 < a \neq 1)\)
4. Đạo hàm của Tổng, Hiệu, Tích, Thương
Cho \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\).
a) Đạo hàm của Tổng và Hiệu
b) Đạo hàm của Tích
Hệ quả:
\[ (k \cdot u)' = k \cdot u' \quad (k \text{ là hằng số}) \]c) Đạo hàm của Thương
Hệ quả:
\[ \left(\displaystyle\frac{1}{v}\right)' = -\displaystyle\frac{v'}{v^2} \quad (v = v(x) \neq 0) \]5. Đạo hàm của Hàm hợp
Nếu hàm số \(u = g(x)\) có đạo hàm tại \(x\) là \(u'_x\) và hàm số \(y = f(u)\) có đạo hàm tại \(u\) là \(y'_u\) thì hàm hợp \(y = f(g(x))\) có đạo hàm tại \(x\) là:
Các dạng đạo hàm hàm hợp \(u = u(x)\) thường gặp:
- \((u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'\)
- \((\sqrt{u})' = \displaystyle\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)
- \((\sin u)' = u' \cdot \cos u\)
- \((\cos u)' = -u' \cdot \sin u\)
- \((e^u)' = u' \cdot e^u\)
- \((\ln u)' = \displaystyle\frac{u'}{u}\)
6. Ví dụ minh họa
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \displaystyle\frac{2x + 1}{x - 1}\)
Áp dụng quy tắc đạo hàm thương \(\left(\displaystyle\frac{u}{v}\right)' = \displaystyle\frac{u'v - uv'}{v^2}\):
\[ y' = \displaystyle\frac{(2x + 1)'(x - 1) - (2x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \displaystyle\frac{2(x - 1) - (2x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \displaystyle\frac{-3}{(x - 1)^2} \]Tính đạo hàm của các hàm số:
a) \(y = \sin(3x - \displaystyle\frac{\pi}{4})\)
b) \(y = x^2 \cdot \cos x\)
a) Áp dụng công thức \((\sin u)' = u' \cdot \cos u\) với \(u = 3x - \displaystyle\frac{\pi}{4}\):
\[ y' = (3x - \displaystyle\frac{\pi}{4})' \cdot \cos(3x - \displaystyle\frac{\pi}{4}) = 3\cos(3x - \displaystyle\frac{\pi}{4}) \]b) Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích \((uv)' = u'v + uv'\):
\[ y' = (x^2)' \cdot \cos x + x^2 \cdot (\cos x)' = 2x\cos x - x^2\sin x \]Tính đạo hàm của các hàm số:
a) \(y = e^{x^2 + 2x}\)
b) \(y = \ln(x^2 + 1)\)
a) Áp dụng công thức \((e^u)' = u' \cdot e^u\) với \(u = x^2 + 2x\):
\[ y' = (x^2 + 2x)' \cdot e^{x^2 + 2x} = (2x + 2)e^{x^2 + 2x} \]b) Áp dụng công thức \((\ln u)' = \displaystyle\frac{u'}{u}\) với \(u = x^2 + 1\):
\[ y' = \displaystyle\frac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1} = \displaystyle\frac{2x}{x^2 + 1} \]7. Luyện tập tự giải
a) \(y = \displaystyle\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)
b) \(y = \displaystyle\frac{3x - 2}{1 - 2x}\)
a) \(y = \cos(2x + 1)\)
b) \(y = \tan^2(x)\)
a) \(y = 2^{3x - 1}\)
b) \(y = \log_3(x^2 + 2x)\)
8. Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh
- Đạo hàm các hàm có chữ "c" ban đầu (như cos, cot) luôn có dấu **trừ** (\(-\)) đằng trước.
- \((\cos x)' = -\sin x\)
- \((\cot x)' = -\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\)
- Hàm bậc nhất / bậc nhất: \[ y = \displaystyle\frac{ax + b}{cx + d} \implies y' = \displaystyle\frac{ad - bc}{(cx + d)^2} \]
- Hàm bậc hai / bậc nhất: \[ y = \displaystyle\frac{ax^2 + bx + c}{px + q} \implies y' = \displaystyle\frac{ap x^2 + 2aq x + (bq - cp)}{(px + q)^2} \]