BÀI 32: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

a) \(y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1\):

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa:

\[y' = (x^3)' - (3x^2)' + (2x)' + (1)' = 3x^2 - 3 \cdot 2x + 2 + 0 = 3x^2 - 6x + 2\]

b) \(y = x^2 - 4\sqrt{x} + 3\) (với \(x > 0\)):

\[y' = (x^2)' - \left(4\sqrt{x}\right)' + (3)' = 2x - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = 2x - \frac{2}{\sqrt{x}}\]

a) \(y = \frac{2x - 1}{x + 2}\) (với \(x \neq -2\)):

Áp dụng công thức đạo hàm thương \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\):

\[y' = \frac{(2x - 1)'(x + 2) - (2x - 1)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{2(x + 2) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 2)^2}\] \[= \frac{2x + 4 - 2x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2}\]

b) \(y = \frac{2x}{x^2 + 1}\):

\[y' = \frac{(2x)'(x^2 + 1) - (2x)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2}\] \[= \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}\]

a) \(y = x \sin^2 x\):

Áp dụng đạo hàm của tích \((uv)' = u'v + uv'\) và hàm hợp \((u^2)' = 2u \cdot u'\):

\[y' = (x)' \sin^2 x + x \left(\sin^2 x\right)' = 1 \cdot \sin^2 x + x \cdot 2\sin x (\sin x)'\] \[= \sin^2 x + 2x \sin x \cos x = \sin^2 x + x \sin 2x\]

b) \(y = \cos^2 x + \sin 2x\):

\[y' = (\cos^2 x)' + (\sin 2x)' = 2\cos x (\cos x)' + (2x)' \cos 2x\] \[= 2\cos x (-\sin x) + 2\cos 2x = -\sin 2x + 2\cos 2x = 2\cos 2x - \sin 2x\]

c) \(y = \sin 3x - 3\sin x\):

\[y' = (\sin 3x)' - 3(\sin x)' = (3x)' \cos 3x - 3\cos x = 3\cos 3x - 3\cos x\]

d) \(y = \tan x + \cot x\) (với \(x \neq \frac{k\pi}{2}\)):

\[y' = (\tan x)' + (\cot x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}\] \[= \frac{-\cos 2x}{\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2} = \frac{-4\cos 2x}{\sin^2 2x}\]

a) \(y = 2^{3x - x^2}\):

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp mũ \((a^u)' = u' \cdot a^u \ln a\):

\[y' = (3x - x^2)' \cdot 2^{3x - x^2} \ln 2 = (3 - 2x) \cdot 2^{3x - x^2} \ln 2\]

b) \(y = \log_3(4x + 1)\) (với \(x > -\frac{1}{4}\)):

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp lôgarit \(\left(\log_a u\right)' = \frac{u'}{u \ln a}\):

\[y' = \frac{(4x + 1)'}{(4x + 1) \ln 3} = \frac{4}{(4x + 1) \ln 3}\]

Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)\):

\[f'(x) = 2 \cdot 2 \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \left[\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\right]'\] \[= 4 \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(3x - \frac{\pi}{4}\right)' \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\] \[= 4 \cdot 3 \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = 6 \cdot 2\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\]

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\):

\[f'(x) = 6 \sin\left[2\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\right] = 6 \sin\left(6x - \frac{\pi}{2}\right)\]

Vì \(-1 \le \sin\left(6x - \frac{\pi}{2}\right) \le 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), do đó:

\[|f'(x)| = \left|6 \sin\left(6x - \frac{\pi}{2}\right)\right| = 6 \left|\sin\left(6x - \frac{\pi}{2}\right)\right| \le 6 \times 1 = 6\]

Vậy \(|f'(x)| \le 6\) với mọi \(x\) (đpcm).

Vận tốc tức thời \(v(t)\) của vật tại thời điểm \(t\) bằng đạo hàm của độ cao \(h(t)\):

\[v(t) = h'(t) = (100 - 4,9t^2)' = -9,8t\text{ (m/s)}\]

a) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 5\) giây:

\[v(5) = -9,8 \times 5 = -49\text{ (m/s)}\]

Vận tốc rơi tự do tại \(t = 5\text{ s}\) có độ lớn là \(49\text{ m/s}\) (dấu âm chỉ hướng di chuyển xuống dưới).

b) Vận tốc khi vật chạm đất:

• Vật chạm đất khi độ cao \(h(t) = 0\): \[100 - 4,9t^2 = 0 \Leftrightarrow t^2 = \frac{100}{4,9} = \frac{1000}{49} \implies t = \frac{10\sqrt{10}}{7} \approx 4,52\text{ (giây)}\]
• Vận tốc khi vật chạm đất là: \[v\left(\frac{10\sqrt{10}}{7}\right) = -9,8 \times \frac{10\sqrt{10}}{7} = -14\sqrt{10} \approx -44,27\text{ (m/s)}\]

• Vận tốc tức thời \(v(t)\) của hạt tại thời điểm \(t\) là đạo hàm của quãng đường \(s(t)\): \[v(t) = s'(t) = [12 + 0,5\sin(4\pi t)]' = 0,5 \cdot (4\pi t)' \cdot \cos(4\pi t) = 0,5 \cdot 4\pi \cos(4\pi t) = 2\pi \cos(4\pi t)\text{ (cm/s)}\]
• Vì \(\cos(4\pi t) \le 1\) với mọi \(t\), nên: \[v(t) = 2\pi \cos(4\pi t) \le 2\pi\]

Vậy vận tốc cực đại của hạt là \(2\pi\text{ cm/s}\) (xấp xỉ \(6,28\text{ cm/s}\)), đạt được khi \(\cos(4\pi t) = 1\).