Câu 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; b)\) và \(x_0 \in (a; b)\). Đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\), ký hiệu là \(f'(x_0)\), được định nghĩa bằng giới hạn nào sau đây (nếu giới hạn đó hữu hạn)?
Giải thích: Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x_0\) là giới hạn hữu hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của biến số tại điểm đó khi số gia của biến số tiến dần về 0: \(f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\).
Câu 2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm \(f'(x_0)\) của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x_0\) biểu thị điều gì đối với đồ thị \((C)\) của hàm số?
Giải thích: Ý nghĩa hình học: Đạo hàm \(f'(x_0)\) chính là hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến của đồ thị \((C): y = f(x)\) tại điểm tiếp xúc \(M_0(x_0; f(x_0))\).
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0; y_0)\) thuộc đồ thị có dạng là:
Giải thích: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0; y_0)\) có dạng: \(y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \Leftrightarrow y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0\).
Câu 4. Một vật chuyển động có phương trình quãng đường theo thời gian là \(s = s(t)\). Vận tốc tức thời \(v(t_0)\) của vật tại thời điểm \(t_0\) bằng:
Giải thích: Ý nghĩa vật lý: Vận tốc tức thời của chuyển động \(s = s(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là đạo hàm của hàm số quãng đường tại điểm đó: \(v(t_0) = s'(t_0)\).
Câu 5. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = x^2\) tại điểm \(x_0 = 3\). Ta nhận được kết quả là:
Giải thích:
Tính theo định nghĩa:
\(f'(3) = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6\).
Câu 6. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0 = 1\) là \(f'(1) = -2\). Biết \(f(1) = 3\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x_0 = 1\) bằng:
Giải thích:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x_0\) bằng giá trị đạo hàm tại điểm đó: \(k = f'(x_0) = f'(1) = -2\).
Câu 7. Cho hàm số \(y = x^2 - 3x\). Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M(2; -2)\), biết đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0 = 2\) là \(f'(2) = 1\).
Giải thích:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M(2; -2)\) có hệ số góc \(k = f'(2) = 1\) là:
\(y - (-2) = 1 \cdot (x - 2) \Leftrightarrow y + 2 = x - 2 \Leftrightarrow y = x - 4\).
Câu 8. Khẳng định nào sau đây là **đúng** về mối quan hệ giữa tính có đạo hàm và tính liên tục của hàm số tại một điểm?
Giải thích:
Định lý: Nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x_0\) thì nó liên tục tại điểm đó.
Câu 9. Sử dụng định nghĩa đạo hàm, tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = x^3\) tại điểm \(x_0 = 2\).
Giải thích:
Theo định nghĩa đạo hàm:
\(f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2}\)
\(= \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 12\).
Câu 10 Thực tế. Một viên đá được thả rơi tự do từ một đỉnh núi cao. Quãng đường rơi của viên đá theo thời gian \(t\) (tính bằng giây) được cho bởi công thức \(s(t) = 4,9t^2\) (tính bằng mét). Biết rằng đạo hàm của hàm số quãng đường là \(s'(t) = 9,8t\). Hãy tính vận tốc tức thời của viên đá tại thời điểm \(t = 4\) giây kể từ lúc bắt đầu rơi.
Giải thích:
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t\) chính là đạo hàm của hàm số quãng đường: \(v(t) = s'(t) = 9,8t\).
Tại thời điểm \(t = 4\) giây, vận tốc tức thời của viên đá là:
\(v(4) = s'(4) = 9,8 \cdot 4 = 39,2\text{ m/s}\).