📘 BÀI HỌC TOÁN 11: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Chương IX: Đạo hàm (Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Khái niệm Đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; b)\) và điểm \(x_0 \in (a; b)\).
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x_0\), ký hiệu là \(f'(x_0)\) hoặc \(y'(x_0)\).
Quy trình 3 bước tính đạo hàm bằng định nghĩa:
- Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \(x_0\). Tính số gia tương ứng của hàm số: \[ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]
- Bước 2: Lập tỷ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
- Bước 3: Tìm giới hạn \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\). Kết quả thu được chính là \(f'(x_0)\).
2. Ý nghĩa của Đạo hàm
a) Ý nghĩa Vật lý
• Vận tốc tức thời: Nếu một chuyển động có phương trình quãng đường là \(s = s(t)\) thì vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t_0\) là:
\[ v(t_0) = s'(t_0) \]• Cường độ dòng điện tức thời: Cho điện lượng \(Q = Q(t)\) truyền qua dây dẫn. Cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm \(t_0\) là:
\[ I(t_0) = Q'(t_0) \]b) Ý nghĩa Hình học
Đạo hàm \(f'(x_0)\) là hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0; y_0)\):
\[ k = f'(x_0) \]c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0; y_0)\) với \(y_0 = f(x_0)\) là:
\[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \quad \Leftrightarrow \quad y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0 \]3. Ví dụ minh họa
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = x^2 - 3x\) tại điểm \(x_0 = 2\).
Cách 1: Dùng định nghĩa giới hạn trực tiếp:
\[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \]Ta có \(f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 = -2\). Suy ra:
\[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2 - 3x) - (-2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2} \] \[ = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1 \]Vậy \(f'(2) = 1\).
Cho hàm số \(y = x^2 + 2x\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x_0 = 1\).
• Tung độ tiếp điểm: \(y_0 = f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3 \Rightarrow M_0(1; 3)\).
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x_0 = 1\):
\[ k = f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{(x^2 + 2x) - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 3) = 4 \]• Phương trình tiếp tuyến tại \(M_0(1; 3)\) là:
\[ y = f'(1)(x - 1) + y_0 \Leftrightarrow y = 4(x - 1) + 3 \Leftrightarrow y = 4x - 1 \]4. Luyện tập tự giải
a) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x_0 = 2\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm đó.
5. Vận dụng thực tế
Một quả bóng được thả rơi tự do từ một đài quan sát ở độ cao nhất định. Quãng đường rơi của quả bóng sau thời gian \(t\) giây được cho bởi công thức \(s(t) = 4,9t^2\) (với \(s\) tính bằng mét, \(t\) tính bằng giây).
Hỏi: Tính vận tốc tức thời của quả bóng tại thời điểm \(t = 4\) giây kể từ lúc bắt đầu thả.
Vận tốc tức thời của quả bóng tại thời điểm \(t_0 = 4\) giây là đạo hàm của hàm số quãng đường \(s(t)\) tại \(t_0 = 4\):
\[ v(4) = s'(4) = \lim_{t \to 4} \frac{s(t) - s(4)}{t - 4} \]Tính giá trị \(s(4)\):
\[ s(4) = 4,9 \cdot 4^2 = 4,9 \cdot 16 = 78,4 \text{ (m)} \]Thay vào biểu thức giới hạn:
\[ v(4) = \lim_{t \to 4} \frac{4,9t^2 - 78,4}{t - 4} = \lim_{t \to 4} \frac{4,9(t^2 - 16)}{t - 4} \] \[ = \lim_{t \to 4} \frac{4,9(t - 4)(t + 4)}{t - 4} = \lim_{t \to 4} 4,9(t + 4) \] \[ = 4,9 \cdot (4 + 4) = 4,9 \cdot 8 = 39,2 \text{ (m/s)} \]Kết luận: Vận tốc tức thời của quả bóng tại thời điểm 4 giây sau khi thả rơi là \(39,2 \text{ m/s}\).
6. Ghi nhớ & Mẹo làm bài
- Đạo hàm tại \(x_0\): \(f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)
- Ý nghĩa vật lý: \(v(t) = s'(t)\) (Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường).
- Ý nghĩa hình học: Đạo hàm \(f'(x_0)\) chính là hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến tại \(x_0\).
- Để viết phương trình tiếp tuyến tại \(M_0(x_0; y_0)\), bạn cần xác định đủ 3 đại lượng: \(x_0\), \(y_0\) và \(k = f'(x_0)\).
- Nếu bài toán cho trước hoành độ \(x_0\): Tìm \(y_0 = f(x_0)\) và \(k = f'(x_0)\).
- Nếu bài toán cho trước tung độ \(y_0\): Giải phương trình \(f(x_0) = y_0\) để tìm \(x_0\), sau đó tính \(k\).
- Nếu bài toán cho trước hệ số góc \(k\): Giải phương trình \(f'(x_0) = k\) để tìm hoành độ tiếp điểm \(x_0\).