BÀI 31: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)
a) \(y = x^2 - x\) tại \(x_0 = 1\);
b) \(y = -x^3\) tại \(x_0 = -1\).
a) \(y = f(x) = x^2 - x\) tại \(x_0 = 1\):
Ta có: \(f(1) = 1^2 - 1 = 0\).
Áp dụng định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn trực tiếp:
\[f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x^2 - x) - 0}{x - 1}\] \[= \lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} x = 1\]Vậy \(y'(1) = 1\).
b) \(y = f(x) = -x^3\) tại \(x_0 = -1\):
Ta có: \(f(-1) = -(-1)^3 = 1\).
Áp dụng định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn trực tiếp:
\[f'(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \lim_{x \to -1} \frac{-x^3 - 1}{x + 1}\] \[= \lim_{x \to -1} \frac{-(x^3 + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{-(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1}\] \[= \lim_{x \to -1} [-(x^2 - x + 1)] = -((-1)^2 - (-1) + 1) = -3\]Vậy \(y'(-1) = -3\).
a) \(y = kx^2 + c\) (với \(k, c\) là các hằng số);
b) \(y = x^3\).
a) \(y = f(x) = kx^2 + c\):
Với điểm \(x\) bất kỳ trên \(\mathbb{R}\), áp dụng định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn trực tiếp:
\[f'(x) = \lim_{t \to x} \frac{f(t) - f(x)}{t - x} = \lim_{t \to x} \frac{(kt^2 + c) - (kx^2 + c)}{t - x}\] \[= \lim_{t \to x} \frac{k(t^2 - x^2)}{t - x} = \lim_{t \to x} \frac{k(t - x)(t + x)}{t - x}\] \[= \lim_{t \to x} [k(t + x)] = k(x + x) = 2kx\]Vậy \(y' = 2kx\).
b) \(y = f(x) = x^3\):
Với điểm \(x\) bất kỳ trên \(\mathbb{R}\), áp dụng định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn trực tiếp:
\[f'(x) = \lim_{t \to x} \frac{f(t) - f(x)}{t - x} = \lim_{t \to x} \frac{t^3 - x^3}{t - x}\] \[= \lim_{t \to x} \frac{(t - x)(t^2 + tx + x^2)}{t - x} = \lim_{t \to x} (t^2 + tx + x^2)\] \[= x^2 + x \cdot x + x^2 = 3x^2\]Vậy \(y' = 3x^2\).
a) Tiếp điểm có hoành độ \(x_0 = 1\);
b) Tiếp điểm có tung độ \(y_0 = 0\).
Xét hàm số \(y = f(x) = -x^2 + 4x\). Ta có đạo hàm của hàm số là \(f'(x) = -2x + 4\).
a) Tiếp điểm có hoành độ \(x_0 = 1\):
- Tung độ tiếp điểm: \(y_0 = f(1) = -(1)^2 + 4(1) = 3 \Rightarrow\) Tiếp điểm \(M_0(1; 3)\).
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x_0 = 1\): \[k = f'(1) = -2(1) + 4 = 2\]
- Phương trình tiếp tuyến tại \(M_0(1; 3)\): \[y - 3 = 2(x - 1) \Leftrightarrow y = 2x + 1\]
b) Tiếp điểm có tung độ \(y_0 = 0\):
- Giải phương trình tìm hoành độ tiếp điểm \(x_0\): \[f(x_0) = 0 \Leftrightarrow -x_0^2 + 4x_0 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_0 = 0 \\ x_0 = 4 \end{bmatrix}\]
- Trường hợp 1: Với \(x_0 = 0 \Rightarrow y_0 = 0\), tiếp điểm \(M_1(0; 0)\).
Hệ số góc tiếp tuyến: \(k_1 = f'(0) = -2(0) + 4 = 4\).
Phương trình tiếp tuyến: \(y - 0 = 4(x - 0) \Leftrightarrow y = 4x\). - Trường hợp 2: Với \(x_0 = 4 \Rightarrow y_0 = 0\), tiếp điểm \(M_2(4; 0)\).
Hệ số góc tiếp tuyến: \(k_2 = f'(4) = -2(4) + 4 = -4\).
Phương trình tiếp tuyến: \(y - 0 = -4(x - 4) \Leftrightarrow y = -4x + 16\).
- Vật chạm đất khi độ cao \(h = 0\) mét (\(t > 0\)): \[19,6t - 4,9t^2 = 0 \Leftrightarrow 4,9t(4 - t) = 0 \Leftrightarrow t = 4\text{ (giây)}\] Vậy vật chạm đất sau 4 giây kể từ khi được phóng.
- Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t\) là đạo hàm của độ cao theo thời gian \(t\): \[v(t) = h'(t) = (19,6t - 4,9t^2)' = 19,6 - 9,8t\text{ (m/s)}\]
- Vận tốc của vật tại thời điểm chạm đất (\(t = 4\)): \[v(4) = 19,6 - 9,8 \times 4 = 19,6 - 39,2 = -19,6\text{ (m/s)}\]
Vậy vận tốc của vật khi chạm đất là \(-19,6\text{ m/s}\) (dấu âm thể hiện chiều di chuyển của vật đang đi xuống).
a) Tìm \(c\).
b) Tính \(y'(0)\) và tìm \(b\).
c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa \(P\) và \(Q\) là \(40\text{ m}\). Tìm \(a\).
d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp \(P\) và \(Q\).
Phương trình parabol \(y = f(x) = ax^2 + bx + c\). Đạo hàm \(y' = f'(x) = 2ax + b\).
a) Tìm \(c\):
Vì gốc tọa độ \(O(0; 0)\) đặt tại điểm chuyển tiếp \(P\), nên tọa độ của \(P\) là \((0; 0)\).
Thay tọa độ \(P(0; 0)\) vào phương trình parabol:
\[0 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 0\]
b) Tính \(y'(0)\) và tìm \(b\):
Đường thẳng dốc lên \(L_1\) là tiếp tuyến của parabol tại điểm chuyển tiếp \(P(0; 0)\).
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, hệ số góc của tiếp tuyến \(L_1\) tại \(x = 0\) bằng \(y'(0)\).
Đề bài cho hệ số góc của \(L_1\) là \(0,5\), nên:
\[y'(0) = 0,5\]
Mặt khác \(y'(0) = 2a(0) + b = b\), suy ra \(b = 0,5\).
c) Tìm \(a\):
- Khoảng cách theo phương ngang giữa \(P\) và \(Q\) là \(40\text{ m}\), mà \(x_P = 0\) nên hoành độ của điểm \(Q\) là \(x_Q = 40\).
- Đường thẳng dốc xuống \(L_2\) là tiếp tuyến của parabol tại điểm chuyển tiếp \(Q(40; y_Q)\).
Hệ số góc của tiếp tuyến \(L_2\) tại \(x_Q = 40\) là \(-0,75\). - Ta có: \[y'(40) = -0,75 \Leftrightarrow 2a(40) + b = -0,75\] \[80a + 0,5 = -0,75 \Leftrightarrow 80a = -1,25 \Leftrightarrow a = -\frac{1,25}{80} = -\frac{1}{64} = -0,015625\]
d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp \(P\) và \(Q\):
- Phương trình parabol hoàn chỉnh là: \[y = -\frac{1}{64}x^2 + 0,5x\]
- Tung độ của điểm \(P(0; 0)\) là \(y_P = 0\).
- Tung độ của điểm \(Q(40; y_Q)\): \[y_Q = -\frac{1}{64}(40)^2 + 0,5(40) = -\frac{1600}{64} + 20 = -25 + 20 = -5\text{ (m)}\]
- Chênh lệch độ cao giữa hai điểm \(P\) và \(Q\) là: \[|y_P - y_Q| = |0 - (-5)| = 5\text{ (m)}\]
Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp \(P\) và \(Q\) là \(5\text{ m}\).