BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT
⏳ Thời gian còn lại: 15:00
Câu 1. Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp. Gọi A là biến cố “Hai viên bi lấy ra đều có màu xanh”, B là biến cố “Hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ”. Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\cup B\) là:
Số kết quả tổng là \(\binom{8}{2}=28\) nếu xét sơ bộ, nhưng ta cần số kết quả thuận lợi cho \(A\cup B\) — tức là trường hợp lấy 2 xanh hoặc 2 đỏ.
\[\#(2\ \text{xanh})=\binom{5}{2}=10,\qquad \#(2\ \text{đỏ})=\binom{3}{2}=3.\]
Vậy tổng thuận lợi là \(10+3=13\).
Câu 2. Thực hiện hai thí nghiệm. Gọi A và B lần lượt là các biến cố “Thí nghiệm thứ nhất thành công” và “Thí nghiệm thứ hai thành công”. Biến cố “Có ít nhất một trong hai thí nghiệm thành công” là:
"Có ít nhất một thành công" có nghĩa là xảy ra A hoặc B (hoặc cả hai) → đó là hợp của hai biến cố: \(A\cup B\).
Câu 3. Thực hiện hai thí nghiệm. Gọi A và B lần lượt là các biến cố “Thí nghiệm thứ nhất thành công” và “Thí nghiệm thứ hai thành công”. Biến cố “Có đúng một trong hai thí nghiệm thành công” là:
"Có đúng một thành công" là xảy ra trường hợp thứ nhất thất bại và thứ hai thành công \((\overline{A}B)\), hoặc thứ nhất thành công và thứ hai thất bại \((A\overline{B})\). Hai trường hợp này không chồng lên nhau nên hợp của chúng là đáp án.
Câu 4. Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai biến cố xung khắc (mutually exclusive) không thể cùng xảy ra, nên \(P(AB)=0\). Công thức tổng quát: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\). Với \(P(AB)=0\) ta có \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
Câu 5. Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Biết \(P(A)=\tfrac{1}{3}\), \(P(B)=\tfrac{1}{4}\). Giá trị của \(P(A\cup B)\) là:
Vì hai biến cố xung khắc, \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{4+3}{12}=\tfrac{7}{12}.\)
Câu 6. Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Biết \(P(A)=\tfrac{1}{5}\) và \(P(A\cup B)=\tfrac{1}{3}\). Giá trị \(P(B)\) bằng:
Với xung khắc, \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\). Do đó \(P(B)=P(A\cup B)-P(A)=\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}=\tfrac{5-3}{15}=\tfrac{2}{15}.\)
Câu 7. Cho A, B là hai biến cố độc lập. Biết \(P(A)=0{,}5\) và \(P(AB)=0{,}2\). Giá trị \(P(A\cup B)\) bằng:
Với độc lập, \(P(AB)=P(A)P(B)\). Do đó \(P(B)=\dfrac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4.\)
Sau đó \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7.\)
Câu 8. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ một hộp chứa 5 quả bóng xanh và 4 quả bóng đỏ có kích thước và khối lượng như nhau. Xác suất của biến cố “Hai quả bóng lấy ra có cùng màu” là:
Tổng số cách chọn 2 quả bóng từ 9 quả là \(\binom{9}{2}=36\).
Thuận lợi: hai xanh \(\binom{5}{2}=10\), hai đỏ \(\binom{4}{2}=6\). Tổng \(10+6=16\).
Xác suất \(=\dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9}.\)
Câu 9. Một hộp chứa 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu là:
Tổng số cách chọn 2 từ 9 viên là \(\binom{9}{2}=36\).
Thuận lợi: hai xanh \(\binom{4}{2}=6\), hai đỏ \(\binom{3}{2}=3\), hai vàng \(\binom{2}{2}=1\). Tổng \(6+3+1=10\).
Xác suất \(=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}.\)
Câu 10. Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, xác suất để người chơi thứ nhất dành chiến thắng:
Người 1 cần 1 thắng nữa, người 2 cần 3 thắng nữa. Vì hai người ngang sức (mỗi ván 0{,}5), để người 2 thắng cuộc trước khi người 1 ghi được thắng thứ 5 thì người 2 phải thắng 3 ván liên tiếp ngay sau đó. Xác suất đó là \((1/2)^3=1/8.\)
Do vậy xác suất người 1 thắng là \(1-\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{8}.\)
