BÀI 4. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
⏳ Thời gian còn lại: 15:00
Câu 1. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên cạnh \(BC\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(SH\).
Vì \(H\) là trung điểm của \(BC\), \(AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
Tam giác \(AHS\) là tam giác vuông tại \(H\).
Do đó khoảng cách từ \(A\) đến \(SH\) là cạnh góc vuông ứng với \(A\):
\[
d(A,SH)=AH = \frac{a}{2}.
\]
Câu 2. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB=a, AC=a\sqrt{3}\). Cạnh \(SA\) vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \((SAC)\).
Khoảng cách từ \(B\) đến \((SAC)\) chính là độ dài đoạn vuông góc từ \(B\) xuống \(AC\):
\[
d(B,(SAC)) = \frac{AB \cdot AC}{AC} = \frac{a\cdot a\sqrt{3}}{2a\sqrt{3}} = \frac{a}{2}.
\]
Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Tính khoảng cách từ \(A'\) đến mặt phẳng \((ABC)\).
Mặt phẳng đáy \((ABC)\) song song với đáy trên \((A'B'C')\).
Khoảng cách từ \(A'\) đến \((ABC)\) bằng đúng chiều cao của lăng trụ.
Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \((BCC'B')\).
\(AA'\) song song với \(BB'\) và vuông góc đáy.
Mặt phẳng \((BCC'B')\) chứa \(BB'\) → khoảng cách là đúng bằng chiều cao lăng trụ.
Câu 5. Trong hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((A'B'C')\).
Hai đáy song song → khoảng cách bằng đúng chiều cao hình hộp.
Câu 6. Cho hình chóp \(S.ABC\) đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Điểm \(A\) và cạnh \(SC\) là hai đường thẳng chéo nhau. Tính khoảng cách giữa \(AB\) và \(SC\).
Sử dụng mặt phẳng chứa \(AB\) và song song với \(SC\), dựng đoạn vuông góc.
Kết quả:
\[
d(AB,SC)=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
\]
Câu 7. Trong hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\), tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\).
Hai đường thẳng chéo nhau có đoạn vuông góc chung bằng cạnh bên của lăng trụ:
\[
d(AB',BC') = AA' = \text{chiều cao}.
\]
Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy \(a\), cạnh bên \(SA=h\). Tính thể tích khối chóp.
\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h.
\]
Câu 9. Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), chiều cao \(h\). Tính thể tích khối lăng trụ.
Đáy tam giác đều:
\[
S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}
\]
\[
V = S \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}h.
\]
Câu 10. Một hình chóp cụt tứ giác đều có hai đáy là hình vuông cạnh \(a\) và \(b\) \((b < a)\), chiều cao \(h\). Tính thể tích khối chóp cụt.
Công thức thể tích chóp cụt:
\[
V = \frac{h}{3}(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)
\]
Với \(S_1=a^2, S_2=b^2\):
\[
V=\frac{h}{3}(a^2 + ab + b^2).
\]
