BÀI 4. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
I. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ đỉnh $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$.
Lời giải: Vì $SA \perp (ABC)$ nên khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$ chính là $SA$. Nếu cho $SA = h$, thì khoảng cách cần tìm bằng $h$.
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $(B'DC)$.
Lời giải: Trong lập phương, ta có $(B'DC)$ là mặt phẳng đi qua ba đỉnh nằm trên các cạnh không cùng mặt. Khoảng cách từ $A$ đến $(B'DC)$ bằng $a/\sqrt{3}$ (do góc giữa đường chéo không gian và mặt phẳng vuông góc tạo bởi các cạnh là $ \arccos(1/\sqrt{3})$).
II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và có độ dài $h$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(BCD)$. Tính $d$.
Lời giải: Vì $(BCD)$ song song với $(SAD)$ và cách nhau bởi chiều cao của hình chóp, ta có $d = SA = h$.
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có chiều cao $AA' = h$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng $A'B'$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
Lời giải: Đường thẳng $A'B'$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$, nên khoảng cách giữa chúng chính là $AA' = h$.
III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa hai đường chéo $AC'$ và $B'D$.
Lời giải: Hai đường chéo $AC'$ và $B'D$ là hai đường chéo chéo nhau của lập phương. Khoảng cách giữa chúng bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh $AB=a,\; AD=b,\; AA'=c$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'C$ và $BD'$.
Lời giải: Trong hình hộp chữ nhật, hai đường chéo $A'C$ và $BD'$ chéo nhau và song song với cùng mặt phẳng trung gian. Ta có khoảng cách $d = \dfrac{abc}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
IV. Thể tích khối chóp
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA = h$. Tính thể tích khối chóp.
Lời giải: Diện tích đáy $S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Thể tích: $$V = \dfrac{1}{3} S_{ABC} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h = \dfrac{a^2h\sqrt{3}}{12}.$$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = h$. Tính thể tích khối chóp.
Lời giải: Diện tích đáy $S_{ABCD} = a^2$. Thể tích: $$V = \dfrac{1}{3} a^2 h.$$
V. Thể tích khối lăng trụ
Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông dài $3$ cm và $4$ cm. Chiều cao của lăng trụ bằng $5$ cm. Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải: Diện tích đáy $S_{đáy} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$. Thể tích $V = S_{đáy} \cdot h = 6 \cdot 5 = 30\ \text{cm}^3.$
Một lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành có cạnh $a=6$ cm, chiều cao hình bình hành $b=4$ cm. Chiều cao của lăng trụ là $8$ cm. Tính thể tích.
Lời giải: Diện tích đáy $S_{đáy} = a \cdot b = 6 \cdot 4 = 24$. Thể tích $V = S_{đáy} \cdot h = 24 \cdot 8 = 192\ \text{cm}^3.$
