Trắc nghiệm Toán 11 - Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Bài 30: Công Thức Nhân Xác Suất Cho Hai Biến Cố Độc Lập

Toán 11 • Kết Nối Tri Thức • 10 câu trắc nghiệm

Câu 1. Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau thì công thức tính xác suất của biến cố giao \(AB\) là:
Giải thích: Định lý: Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì xác suất cả hai biến cố cùng xảy ra bằng tích xác suất của từng biến cố: \(P(AB) = P(A) \cdot P(B)\).
Câu 2. Cho hai biến cố độc lập \(A\) và \(B\). Biết \(P(A) = 0,4\) và \(P(B) = 0,7\). Tính xác suất \(P(AB)\).
Giải thích: Vì \(A\) và \(B\) độc lập nên \(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,7 = 0,28\).
Câu 3. Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập thì các cặp biến cố nào sau đây cũng độc lập với nhau?
Giải thích: Tính chất: Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập thì các cặp biến cố \(\overline{A}\) và \(B\), \(A\) và \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) cũng độc lập.
Câu 4. Cho hai biến cố độc lập \(A\) và \(B\). Biết \(P(A) = 0,5\) và \(P(AB) = 0,2\). Xác suất của biến cố \(B\) là:
Giải thích: Vì \(A\) và \(B\) độc lập nên \(P(AB) = P(A) \cdot P(B) \Rightarrow P(B) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{0,2}{0,5} = 0,4\).
Câu 5. Cho hai biến cố độc lập \(A\) và \(B\) có \(P(A) = 0,6\) và \(P(B) = 0,5\). Tính xác suất để **cả hai biến cố đều không xảy ra**.
Giải thích: Cả hai biến cố không xảy ra là biến cố \(\overline{A}\overline{B}\).
Ta có \(P(\overline{A}) = 1 - 0,6 = 0,4\) và \(P(\overline{B}) = 1 - 0,5 = 0,5\).
Vì \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) độc lập nên \(P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2\).
Câu 6. Hai xạ thủ A và B cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của A và B lần lượt là \(0,7\) và \(0,8\). Tính xác suất để **cả hai cùng bắn trúng** mục tiêu.
Giải thích: Gọi \(X_A\) là biến cố A bắn trúng, \(X_B\) là biến cố B bắn trúng.
Do hai người bắn độc lập nên xác suất cả hai cùng bắn trúng là:
\(P(X_A X_B) = P(X_A) \cdot P(X_B) = 0,7 \cdot 0,8 = 0,56\).
Câu 7. Hai xạ thủ A và B cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của A là \(0,6\) và của B là \(0,7\). Tính xác suất để **có ít nhất một người bắn trúng** mục tiêu.
Giải thích: Biến cố "Không ai bắn trúng" là \(\overline{A}\overline{B}\).
\(P(\overline{A}) = 1 - 0,6 = 0,4\); \(P(\overline{B}) = 1 - 0,7 = 0,3\).
\(P(\overline{A}\overline{B}) = 0,4 \cdot 0,3 = 0,12\).
Xác suất có ít nhất 1 người bắn trúng: \(P = 1 - P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - 0,12 = 0,88\).
Câu 8. Hai học sinh An và Bình tham gia một kỳ thi độc lập. Xác suất làm bài đạt yêu cầu của An là \(0,8\) và của Bình là \(0,9\). Tính xác suất để **chỉ có đúng một học sinh** làm bài đạt yêu cầu.
Giải thích: Gọi \(A\) là An đạt (\(P(A)=0,8; P(\overline{A})=0,2\)), \(B\) là Bình đạt (\(P(B)=0,9; P(\overline{B})=0,1\)).
Biến cố "Chỉ có 1 người đạt" là \(A\overline{B} \cup \overline{A}B\).
\(P = P(A)P(\overline{B}) + P(\overline{A})P(B) = 0,8 \cdot 0,1 + 0,2 \cdot 0,9 = 0,08 + 0,18 = 0,26\).
Câu 9. Tung hai đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi \(A\) là biến cố "Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt ngửa", \(B\) là biến cố "Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp". Tính xác suất của biến cố giao \(AB\).
Giải thích: \(P(A) = \frac{1}{2}\) và \(P(B) = \frac{1}{2}\). Do kết quả hai đồng xu là độc lập nên:
\(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
Câu 10 Thực tế. Một trung tâm dữ liệu sử dụng hệ thống mạng gồm hai máy chủ kết nối song song hoạt động độc lập để đảm bảo vận hành liên tục. Xác suất máy chủ thứ nhất bị lỗi kĩ thuật trong ngày là \(0,05\); xác suất máy chủ thứ hai bị lỗi là \(0,04\). Hệ thống chỉ bị sập nếu **cả hai máy chủ cùng bị lỗi trong ngày**. Tính xác suất để hệ thống vận hành bình thường (không bị sập) trong ngày.
Giải thích: Gọi \(L_1, L_2\) lần lượt là biến cố máy chủ 1 và máy chủ 2 bị lỗi.
\(P(L_1) = 0,05\); \(P(L_2) = 0,04\).
Vì hai máy chủ hoạt động độc lập, xác suất cả hai máy chủ cùng lỗi (hệ thống bị sập) là:
\(P(\text{sập}) = P(L_1 L_2) = P(L_1) \cdot P(L_2) = 0,05 \cdot 0,04 = 0,002\).
Xác suất để hệ thống vận hành bình thường (không bị sập) là:
\(P = 1 - P(\text{sập}) = 1 - 0,002 = 0,998\).

Kết quả