🎲 BÀI HỌC TOÁN 11: CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
Sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương VIII)
1. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau thì xác suất của biến cố giao \(AB\) (cả \(A\) và \(B\) cùng xảy ra) bằng tích xác suất của \(A\) và xác suất của \(B\):
\[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) \]Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì các cặp biến cố sau cũng độc lập với nhau:
- \(A\) và \(\overline{B} \implies P(A\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})\)
- \(\overline{A}\) và \(B \implies P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \cdot P(B)\)
- \(\overline{A}\) và \(\overline{B} \implies P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})\)
2. Tiêu chuẩn kiểm tra hai biến cố độc lập
Để kiểm tra hai biến cố \(A\) và \(B\) trong một phép thử có độc lập với nhau hay không, ta so sánh \(P(AB)\) với tích \(P(A) \cdot P(B)\):
- Nếu \(P(AB) = P(A) \cdot P(B)\) thì hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập.
- Nếu \(P(AB) \neq P(A) \cdot P(B)\) thì hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.
Khi giải các bài toán thực tế (bắn súng, thi đấu độc lập, sản xuất ở các máy độc lập,...), ta thường mặc định tính độc lập dựa trên bản chất vật lý của bài toán trước khi áp dụng công thức nhân.
3. Mở rộng công thức nhân cho nhiều biến cố độc lập
Nếu \(k\) biến cố \(A_1, A_2, \dots, A_k\) độc lập với nhau thì xác suất để tất cả các biến cố đó cùng xảy ra được tính theo công thức:
\[ P(A_1 A_2 \dots A_k) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdots P(A_k) \]Để tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong các biến cố \(A_1, A_2, \dots, A_k\) xảy ra", ta thường sử dụng biến cố đối "Không có biến cố nào xảy ra":
\[ P(\text{Ít nhất một biến cố xảy ra}) = 1 - P(\overline{A}_1 \overline{A}_2 \dots \overline{A}_k) = 1 - P(\overline{A}_1) \cdot P(\overline{A}_2) \cdots P(\overline{A}_k) \]4. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Hai xạ thủ \(X\) và \(Y\) cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ \(X\) là \(0,8\) và của xạ thủ \(Y\) là \(0,7\). Tính xác suất để:
a) Cả hai xạ thủ đều bắn trúng mục tiêu.
b) Xạ thủ \(X\) bắn trúng và xạ thủ \(Y\) bắn trượt.
Gọi \(A\) là biến cố "Xạ thủ \(X\) bắn trúng" \(\implies P(A) = 0,8\).
Gọi \(B\) là biến cố "Xạ thủ \(Y\) bắn trúng" \(\implies P(B) = 0,7\).
Do hai xạ thủ bắn độc lập nên \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
a) Cả hai xạ thủ cùng bắn trúng là biến cố giao \(AB\). Áp dụng công thức nhân xác suất:
\[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56 \]b) Xạ thủ \(Y\) bắn trượt là biến cố đối \(\overline{B}\), có xác suất \(P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,7 = 0,3\).
Vì \(A\) và \(\overline{B}\) độc lập nên xác suất xạ thủ \(X\) trúng và \(Y\) trượt là:
\[ P(A\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0,8 \cdot 0,3 = 0,24 \]Một hệ thống điện tử có hai linh kiện hoạt động độc lập với nhau. Xác suất bị hỏng trong một năm của linh kiện 1 là \(0,1\) và của linh kiện 2 là \(0,15\). Tính xác suất để hệ thống hoạt động bình thường trong một năm, biết rằng hệ thống chỉ hoạt động được khi cả hai linh kiện đều không bị hỏng.
• Gọi \(A\) là biến cố "Linh kiện 1 bị hỏng" \(\implies P(A) = 0,1\).
• Gọi \(B\) là biến cố "Linh kiện 2 bị hỏng" \(\implies P(B) = 0,15\).
Linh kiện 1 không hỏng là \(\overline{A}\) với \(P(\overline{A}) = 1 - 0,1 = 0,9\).
Linh kiện 2 không hỏng là \(\overline{B}\) với \(P(\overline{B}) = 1 - 0,15 = 0,85\).
Do các linh kiện hoạt động độc lập nên \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) độc lập với nhau.
Hệ thống hoạt động bình thường khi cả hai linh kiện cùng không hỏng (biến cố \(\overline{A}\overline{B}\)):
\[ P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0,9 \cdot 0,85 = 0,765 \]Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi \(A\) là biến cố "Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm", \(B\) là biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7". Hỏi \(A\) và \(B\) có độc lập không?
• Không gian mẫu có \(n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36\) phần tử.
• Biến cố \(A = \{(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)\} \implies n(A) = 6 \implies P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
• Biến cố \(B = \{(1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1)\} \implies n(B) = 6 \implies P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
• Biến cố giao \(AB = A \cap B = \{(6,1)\} \implies n(AB) = 1 \implies P(AB) = \frac{1}{36}\).
Ta nhận thấy:
\[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} = P(AB) \]Vậy hai biến cố \(A\) và \(B\) là độc lập với nhau.
5. Bảng tổng kết kiến thức & Bài tập tự luyện
| Nội Dung | Công Thức / Điều Kiện | Ý Nghĩa Ứng Dụng |
|---|---|---|
| Công thức nhân (2 biến cố) | \(P(AB) = P(A) \cdot P(B)\) | Tính xác suất để cả \(A\) và \(B\) cùng xảy ra khi \(A, B\) độc lập |
| Điều kiện kiểm tra độc lập | \(P(AB) = P(A) \cdot P(B)\) | Thẩm định hai biến cố có độc lập hay không dựa trên số liệu |
| Mở rộng (k biến cố) | \(P(A_1 \dots A_k) = P(A_1) \cdots P(A_k)\) | Áp dụng cho chuỗi gồm nhiều biến cố độc lập |
| Biến cố "Có ít nhất một" | \(1 - P(\overline{A}_1 \cdots \overline{A}_k)\) | Kết hợp công thức nhân biến cố đối để tính xác suất hợp |
Hai sinh viên An và Bình tham gia một kỳ thi độc lập. Xác suất thi đạt của An là \(0,8\) và của Bình là \(0,9\). Tính xác suất để:
a) Cả hai sinh viên đều thi đạt.
b) Chỉ có đúng một sinh viên thi đạt.
c) Có ít nhất một sinh viên thi đạt.
• Gọi \(A\) là biến cố "An thi đạt" \(\implies P(A) = 0,8\); \(P(\overline{A}) = 1 - 0,8 = 0,2\).
• Gọi \(B\) là biến cố "Bình thi đạt" \(\implies P(B) = 0,9\); \(P(\overline{B}) = 1 - 0,9 = 0,1\).
Vì An và Bình thi độc lập nên \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
a) Cả hai sinh viên đều thi đạt:
\[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,8 \cdot 0,9 = 0,72 \]b) Chỉ có đúng một sinh viên thi đạt:
Xảy ra trong 2 trường hợp xung khắc:
- An đạt, Bình không đạt (\(A\overline{B}\)): \(P(A\overline{B}) = 0,8 \cdot 0,1 = 0,08\)
- An không đạt, Bình đạt (\(\overline{A}B\)): \(P(\overline{A}B) = 0,2 \cdot 0,9 = 0,18\)
Xác suất cần tính là: \(P = P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B) = 0,08 + 0,18 = 0,26\)
c) Có ít nhất một sinh viên thi đạt:
Biến cố đối là "Cả hai đều không thi đạt" (\(\overline{A}\overline{B}\)).
\[ P(\text{Ít nhất một người đạt}) = 1 - P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 1 - 0,2 \cdot 0,1 = 1 - 0,02 = 0,98 \]Ba người độc lập cùng ném bóng vào rổ. Xác suất ném trúng của người thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là \(0,6\); \(0,7\) và \(0,8\). Tính xác suất để cả ba người đều ném trúng rổ.
• Gọi \(A_1, A_2, A_3\) lần lượt là biến cố người thứ nhất, thứ hai, thứ ba ném trúng rổ.
• Theo bài ra: \(P(A_1) = 0,6\); \(P(A_2) = 0,7\); \(P(A_3) = 0,8\).
Do ba người ném độc lập nên các biến cố \(A_1, A_2, A_3\) độc lập với nhau.
Xác suất để cả ba người đều ném trúng rổ là:
\[ P(A_1 A_2 A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0,6 \cdot 0,7 \cdot 0,8 = 0,336 \]Một mạch điện gồm hai thiết bị A và B mắc song song. Mạch sẽ hoạt động bình thường nếu ít nhất một trong hai thiết bị hoạt động bình thường. Giả sử khả năng hoạt động tốt của A và B lần lượt là \(0,9\) và \(0,85\) độc lập với nhau. Tính xác suất để mạch điện hoạt động bình thường.
• Gọi \(A\) là biến cố "Thiết bị A hoạt động tốt" \(\implies P(A) = 0,9\); \(P(\overline{A}) = 1 - 0,9 = 0,1\).
• Gọi \(B\) là biến cố "Thiết bị B hoạt động tốt" \(\implies P(B) = 0,85\); \(P(\overline{B}) = 1 - 0,85 = 0,15\).
Mạch ngừng hoạt động khi cả hai thiết bị đều bị hỏng (biến cố \(\overline{A}\overline{B}\)).
Vì A và B hoạt động độc lập nên \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) độc lập với nhau:
\[ P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0,1 \cdot 0,15 = 0,015 \]Xác suất để mạch điện hoạt động bình thường là:
\[ P = 1 - P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - 0,015 = 0,985 \]