BÀI 30: CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

• Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc nên hai biến cố này không thể cùng xảy ra, tức là \(AB = \emptyset\). Do đó: \[P(AB) = 0\]
• Mặt khác, theo giả thiết \(P(A) > 0\) và \(P(B) > 0\) nên: \[P(A) \cdot P(B) > 0\]
• Từ đó suy ra: \[P(AB) \neq P(A) \cdot P(B) \quad (0 \neq P(A) \cdot P(B))\]

Vậy hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập (đpcm).

Không gian mẫu \(\Omega = \{1; 2; 3; \dots; 60\}\) có \(n(\Omega) = 60\).

• Các ước của 60 từ 1 đến 60 là: \[A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\} \Rightarrow n(A) = 12\] \[\Rightarrow P(A) = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}\]
• Các ước của 48 từ 1 đến 60 là: \[B = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\} \Rightarrow n(B) = 10\] \[\Rightarrow P(B) = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}\]
• Các số vừa là ước của 60 vừa là ước của 48 (tức là ước của \(\text{ƯCLN}(60, 48) = 12\)): \[AB = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\} \Rightarrow n(AB) = 6\] \[\Rightarrow P(AB) = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}\]
• Ta có: \[P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{30}\]
• Vì \(P(AB) = \frac{1}{10} \neq \frac{1}{30} = P(A) \cdot P(B)\), suy ra hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập (đpcm).

Gọi các biến cố:

• \(X_1\): "Lấy được bi xanh từ Túi I", \(P(X_1) = \frac{3}{10}\).
• \(D_1\): "Lấy được bi đỏ từ Túi I", \(P(D_1) = \frac{7}{10}\).
• \(X_2\): "Lấy được bi xanh từ Túi II", \(P(X_2) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}\).
• \(D_2\): "Lấy được bi đỏ từ Túi II", \(P(D_2) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\).

Vì việc lấy bi ở mỗi túi là độc lập nên các biến cố tương ứng độc lập với nhau.

a) Xác suất hai viên bi lấy ra đều màu xanh:

\[P(X_1 X_2) = P(X_1) \cdot P(X_2) = \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16} = 0,1875\]

b) Xác suất hai viên bi lấy ra đều màu đỏ:

\[P(D_1 D_2) = P(D_1) \cdot P(D_2) = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{8} = \frac{21}{80} = 0,2625\]

c) Xác suất hai viên bi được lấy có cùng màu:

Hai viên bi cùng màu nghĩa là cả hai cùng xanh hoặc cả hai cùng đỏ (hai biến cố xung khắc):

\[P = P(X_1 X_2) + P(D_1 D_2) = \frac{15}{80} + \frac{21}{80} = \frac{36}{80} = \frac{9}{20} = 0,45\]

d) Xác suất hai viên bi được lấy không cùng màu:

Biến cố "Hai viên bi lấy ra không cùng màu" là biến cố đối của biến cố "Hai viên bi lấy ra cùng màu":

\[P' = 1 - P = 1 - 0,45 = 0,55 = \frac{11}{20}\]

• Mỗi túi có 10 quả cầu. Các quả cầu không ghi số 1 và không ghi số 5 bao gồm các số: \(\{2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10\}\) (tổng cộng 8 quả cầu).
• Gọi \(A\) là biến cố "Quả cầu lấy từ túi I không ghi số 1 và không ghi số 5".
  Xác suất: \(P(A) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\).
• Gọi \(B\) là biến cố "Quả cầu lấy từ túi II không ghi số 1 và không ghi số 5".
  Xác suất: \(P(B) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\).
• Vì việc lấy quả cầu từ hai túi là hoàn toàn độc lập nên hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập.

Xác suất để cả hai quả cầu lấy ra đều không ghi số 1 hoặc số 5 là:

\[P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25} = 0,64\]

Gọi \(A\) là biến cố "Học sinh tỉnh X đạt yêu cầu", \(P(A) = 93\% = 0,93 \Rightarrow P(\overline{A}) = 1 - 0,93 = 0,07\).
Gọi \(B\) là biến cố "Học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu", \(P(B) = 87\% = 0,87 \Rightarrow P(\overline{B}) = 1 - 0,87 = 0,13\).

Do chất lượng học tập của hai tỉnh độc lập nên các biến cố liên quan đến hai học sinh này độc lập với nhau.

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu:

\[P_a = P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,93 \times 0,87 = 0,8091 \quad (80,91\%)\]

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu:

\[P_b = P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0,07 \times 0,13 = 0,0091 \quad (0,91\%)\]

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu:

TH1: Học sinh tỉnh X đạt, tỉnh Y không đạt (\(A\overline{B}\)).
TH2: Học sinh tỉnh X không đạt, tỉnh Y đạt (\(\overline{A}B\)).

\[P_c = P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B) = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)\] \[P_c = 0,93 \times 0,13 + 0,07 \times 0,87 = 0,1209 + 0,0609 = 0,1818 \quad (18,18\%)\]

d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu:

Biến cố "Có ít nhất một học sinh đạt yêu cầu" là biến cố đối của "Cả hai học sinh đều không đạt yêu cầu":

\[P_d = 1 - P_b = 1 - 0,0091 = 0,9909 \quad (99,09\%)\]