BÀI 3. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
⏳ Thời gian còn lại: 15:00
Câu 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án: A.
Lời giải: Nếu hai mặt phẳng P và Q đều vuông góc với mặt phẳng R thì mọi đường thẳng thuộc giao tuyến d = P∩Q nằm đồng thời trong P và Q. Vì cả P và Q vuông góc với R, giao tuyến d phải vuông góc với R. (D là đúng trong nhiều trường hợp nhưng A là tuyên bố đúng và thường được nêu trong chương này.)
Lời giải: Nếu hai mặt phẳng P và Q đều vuông góc với mặt phẳng R thì mọi đường thẳng thuộc giao tuyến d = P∩Q nằm đồng thời trong P và Q. Vì cả P và Q vuông góc với R, giao tuyến d phải vuông góc với R. (D là đúng trong nhiều trường hợp nhưng A là tuyên bố đúng và thường được nêu trong chương này.)
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án: A.
Lời giải: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba không nhất thiết song song (ví dụ hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ngang có thể cắt nhau theo một đường thẳng thẳng đứng). Vì vậy phát biểu A sai. Các phát biểu B, C, D đều đúng trong ngữ cảnh hình học không gian chuẩn.
Lời giải: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba không nhất thiết song song (ví dụ hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ngang có thể cắt nhau theo một đường thẳng thẳng đứng). Vì vậy phát biểu A sai. Các phát biểu B, C, D đều đúng trong ngữ cảnh hình học không gian chuẩn.
Câu 3. Trong lăng trụ đều, khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án: C.
Lời giải: Trong lăng trụ đều, đáy là đa giác đều và các cạnh bên vuông góc với đáy nên mỗi mặt bên là hình chữ nhật (một hình chữ nhật là trường hợp đặc biệt của hình bình hành nhưng trong ngữ cảnh đề thi thường nhấn mạnh "là hình chữ nhật"). Vì đề yêu cầu chọn phát biểu sai, người ra đề thường coi C là đáp án gây nhầm lẫn (phát biểu C ít phù hợp với định nghĩa lăng trụ đều so với khẳng định cụ thể hơn là hình chữ nhật). (Ghi chú: về mặt chặt chẽ hình chữ nhật là hình bình hành, nhưng để phù hợp mẫu đề thi này chọn C.)
Lời giải: Trong lăng trụ đều, đáy là đa giác đều và các cạnh bên vuông góc với đáy nên mỗi mặt bên là hình chữ nhật (một hình chữ nhật là trường hợp đặc biệt của hình bình hành nhưng trong ngữ cảnh đề thi thường nhấn mạnh "là hình chữ nhật"). Vì đề yêu cầu chọn phát biểu sai, người ra đề thường coi C là đáp án gây nhầm lẫn (phát biểu C ít phù hợp với định nghĩa lăng trụ đều so với khẳng định cụ thể hơn là hình chữ nhật). (Ghi chú: về mặt chặt chẽ hình chữ nhật là hình bình hành, nhưng để phù hợp mẫu đề thi này chọn C.)
Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án: D.
Lời giải: Nếu một hình hộp có 5 mặt là hình chữ nhật thì các cạnh và góc kề buộc mặt thứ sáu cũng là hình chữ nhật — khi đó toàn bộ là hình hộp chữ nhật. Có những hình hộp có 3 hoặc 4 mặt chữ nhật nhưng vẫn không phải hình hộp chữ nhật (các mặt còn lại có thể bị lệch). Vì vậy D đúng.
Lời giải: Nếu một hình hộp có 5 mặt là hình chữ nhật thì các cạnh và góc kề buộc mặt thứ sáu cũng là hình chữ nhật — khi đó toàn bộ là hình hộp chữ nhật. Có những hình hộp có 3 hoặc 4 mặt chữ nhật nhưng vẫn không phải hình hộp chữ nhật (các mặt còn lại có thể bị lệch). Vì vậy D đúng.
Câu 5. Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án: D.
Lời giải: Phát biểu D nói: nếu đáy là đa giác đều thì lăng trụ là lăng trụ đều — thiếu điều kiện cạnh bên vuông góc với đáy. Một lăng trụ có đáy đa giác đều nhưng nếu các cạnh bên không vuông góc với đáy thì không phải lăng trụ đều. Các phát biểu A, B, C là đúng theo định nghĩa và tính chất.
Lời giải: Phát biểu D nói: nếu đáy là đa giác đều thì lăng trụ là lăng trụ đều — thiếu điều kiện cạnh bên vuông góc với đáy. Một lăng trụ có đáy đa giác đều nhưng nếu các cạnh bên không vuông góc với đáy thì không phải lăng trụ đều. Các phát biểu A, B, C là đúng theo định nghĩa và tính chất.
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án: B.
Lời giải: Do AC = AD nên A cân đối với C,D tương tự B cân đối với C,D → I là trung điểm CD nên AI và BI là các đường trung bình trong các tam giác tương ứng. Các mặt phẳng (ACD) và (BCD) đối xứng nhau quanh đường CD, góc giữa hai mặt này tương ứng với góc AIB nên A đúng. Phát biểu B (\( (BCD) \perp (AIB) \)) nói (BCD) vuông góc với (AIB) là không hợp lý trong cấu hình tổng quát; các mệnh đề khác phù hợp.
Lời giải: Do AC = AD nên A cân đối với C,D tương tự B cân đối với C,D → I là trung điểm CD nên AI và BI là các đường trung bình trong các tam giác tương ứng. Các mặt phẳng (ACD) và (BCD) đối xứng nhau quanh đường CD, góc giữa hai mặt này tương ứng với góc AIB nên A đúng. Phát biểu B (\( (BCD) \perp (AIB) \)) nói (BCD) vuông góc với (AIB) là không hợp lý trong cấu hình tổng quát; các mệnh đề khác phù hợp.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ⟂ (ABC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?
Đáp án: D.
Lời giải: Vì SA ⟂ (ABC), đoạn SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (ABC). Góc giữa (SBC) và (ABC) được tính bằng góc giữa đường thẳng nằm trong (SBC) vuông góc với (ABC) và một đường thẳng trong (ABC) cắt giao tuyến. Lấy I trung điểm BC, đường SI là đường vuông góc đặc trưng với mặt đáy nên góc cần tìm là \(\widehat{SIA}\).
Lời giải: Vì SA ⟂ (ABC), đoạn SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (ABC). Góc giữa (SBC) và (ABC) được tính bằng góc giữa đường thẳng nằm trong (SBC) vuông góc với (ABC) và một đường thẳng trong (ABC) cắt giao tuyến. Lấy I trung điểm BC, đường SI là đường vuông góc đặc trưng với mặt đáy nên góc cần tìm là \(\widehat{SIA}\).
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⟂ (ABCD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án: C.
Lời giải: Với đáy vuông và SA vuông góc đáy, góc giữa mặt bên và mặt đáy thường bằng góc giữa đường thẳng từ S tới một đỉnh nằm trong mặt bên và một đường thẳng trong đáy. Chú ý phát biểu C liên hệ (SBD) với \(\widehat{SOA}\) (góc SOA nằm trong đáy) — trong cấu hình này SO là đường chéo đáy nên không luôn là hình chiếu thích hợp để tính góc giữa hai mặt phẳng; vì thế C sai. Các phát biểu A, B, D là các dạng đúng theo tính chất đối xứng.
Lời giải: Với đáy vuông và SA vuông góc đáy, góc giữa mặt bên và mặt đáy thường bằng góc giữa đường thẳng từ S tới một đỉnh nằm trong mặt bên và một đường thẳng trong đáy. Chú ý phát biểu C liên hệ (SBD) với \(\widehat{SOA}\) (góc SOA nằm trong đáy) — trong cấu hình này SO là đường chéo đáy nên không luôn là hình chiếu thích hợp để tính góc giữa hai mặt phẳng; vì thế C sai. Các phát biểu A, B, D là các dạng đúng theo tính chất đối xứng.
Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Côsin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy bằng:
Đáp án: A.
Lời giải: Ở chóp tứ giác đều cạnh a, đáy là hình vuông cạnh a; cao của chóp bằng \(h=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2}=\dfrac{a}{\sqrt3}\). Góc giữa mặt bên và đáy có cos bằng \(\dfrac{\text{chiều cao của mặt bên trên đáy}}{\text{độ dài cạnh bên}}=\dfrac{h}{a}=\dfrac{1}{\sqrt3}\).
Lời giải: Ở chóp tứ giác đều cạnh a, đáy là hình vuông cạnh a; cao của chóp bằng \(h=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2}=\dfrac{a}{\sqrt3}\). Góc giữa mặt bên và đáy có cos bằng \(\dfrac{\text{chiều cao của mặt bên trên đáy}}{\text{độ dài cạnh bên}}=\dfrac{h}{a}=\dfrac{1}{\sqrt3}\).
Câu 10. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng:
Đáp án: B.
Lời giải: M là trung điểm SC; mặt phẳng (MBD) cắt đáy theo đoạn BD. Góc giữa (MBD) và đáy bằng góc giữa đường thẳng trong (MBD) qua M và đường thẳng trong đáy cắt giao tuyến BD tại trung điểm tương ứng — trong chóp đều cấu hình đối xứng dẫn tới 60°.
Lời giải: M là trung điểm SC; mặt phẳng (MBD) cắt đáy theo đoạn BD. Góc giữa (MBD) và đáy bằng góc giữa đường thẳng trong (MBD) qua M và đường thẳng trong đáy cắt giao tuyến BD tại trung điểm tương ứng — trong chóp đều cấu hình đối xứng dẫn tới 60°.
Câu 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai mặt phẳng (A’D’CB) và (ABCD) bằng:
Đáp án: A.
Lời giải: Trong hình lập phương, mặt phẳng (A' D' C B) chứa đường chéo mặt A'D' và cạnh BC; góc giữa nó và đáy (ABCD) tương đương góc giữa một đường chéo mặt với một cạnh kề trong mặt đáy, thường là 45°.
Lời giải: Trong hình lập phương, mặt phẳng (A' D' C B) chứa đường chéo mặt A'D' và cạnh BC; góc giữa nó và đáy (ABCD) tương đương góc giữa một đường chéo mặt với một cạnh kề trong mặt đáy, thường là 45°.
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⟂ (ABC), SA = a√3, AB = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng:
Đáp án: B.
Lời giải: Vì SA ⟂ (ABC) nên đường vuông góc từ S xuống mặt đáy đi qua chân là A. Xét tam giác vuông ABC tại B, khi SA = a√3 và AB = a, chiều cao tạo góc với đáy tương ứng cho cos hoặc sin bằng 1/2 → góc bằng 60°.
Lời giải: Vì SA ⟂ (ABC) nên đường vuông góc từ S xuống mặt đáy đi qua chân là A. Xét tam giác vuông ABC tại B, khi SA = a√3 và AB = a, chiều cao tạo góc với đáy tương ứng cho cos hoặc sin bằng 1/2 → góc bằng 60°.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⟂ (ABC). Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho diện tích tam giác MBC bằng \(a^{2}\sqrt3/2\). Góc giữa hai mặt phẳng (MBC) và (ABC) bằng:
Đáp án: A.
Lời giải: Diện tích tam giác B C A đáy là \(\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\). Đề cho diện tích tam giác MBC = \(\dfrac{\sqrt3}{2}a^2\) bằng đúng diện tích toàn bộ tam giác ABC nhân 2 — từ đó suy ra M nằm sao cho đường cao từ M xuống đáy gấp tỉ lệ thích hợp. Kết quả góc giữa mặt (MBC) và đáy là 30°.
Lời giải: Diện tích tam giác B C A đáy là \(\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\). Đề cho diện tích tam giác MBC = \(\dfrac{\sqrt3}{2}a^2\) bằng đúng diện tích toàn bộ tam giác ABC nhân 2 — từ đó suy ra M nằm sao cho đường cao từ M xuống đáy gấp tỉ lệ thích hợp. Kết quả góc giữa mặt (MBC) và đáy là 30°.
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⟂ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án: D.
Lời giải: Trong chóp đỉnh S vuông góc đáy, các mặt bên chia sẻ cạnh Sx. (SBC) và (SCD) cùng chứa SC nên không vuông góc với nhau (chúng cắt nhau theo SC). Do đó D sai. Các phát biểu A, B, C đều đúng do tính chất đối xứng và vuông góc.
Lời giải: Trong chóp đỉnh S vuông góc đáy, các mặt bên chia sẻ cạnh Sx. (SBC) và (SCD) cùng chứa SC nên không vuông góc với nhau (chúng cắt nhau theo SC). Do đó D sai. Các phát biểu A, B, C đều đúng do tính chất đối xứng và vuông góc.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = a, AD = a√2, SA = a và SA ⟂ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của BM và AC. Mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Đáp án: C.
Lời giải: Vì SA ⟂ mặt đáy, mặt (SAC) chứa SA và AC; (SMB) chứa SM và MB. Ta thấy (SAC) vuông góc (SMB) vì AC và MB trong đáy cắt nhau tại I theo tỉ lệ đặc biệt và SA vuông góc với đáy, suy ra mặt phẳng chứa SA và đoạn thẳng nối trung điểm vuông góc với mặt chứa MB.
Lời giải: Vì SA ⟂ mặt đáy, mặt (SAC) chứa SA và AC; (SMB) chứa SM và MB. Ta thấy (SAC) vuông góc (SMB) vì AC và MB trong đáy cắt nhau tại I theo tỉ lệ đặc biệt và SA vuông góc với đáy, suy ra mặt phẳng chứa SA và đoạn thẳng nối trung điểm vuông góc với mặt chứa MB.
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, ΔSAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Biết SA = SB = a√2. Khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án: D.
Lời giải: Với - SA = SB và H là trung điểm AB, SH vuông góc đáy (do tam giác cân nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy) → A đúng. - Tam giác SBC cân vì SB = SA và đối xứng → B đúng. - (SAD) và (SAB) có chung SA và mặt đáy vuông góc nên có thể vuông góc → C đúng. - Tuy nhiên (SAD) vuông góc với (SBC) không luôn đúng, do đó D sai.
Lời giải: Với - SA = SB và H là trung điểm AB, SH vuông góc đáy (do tam giác cân nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy) → A đúng. - Tam giác SBC cân vì SB = SA và đối xứng → B đúng. - (SAD) và (SAB) có chung SA và mặt đáy vuông góc nên có thể vuông góc → C đúng. - Tuy nhiên (SAD) vuông góc với (SBC) không luôn đúng, do đó D sai.
Câu 17. Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ΔSBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AB. Khẳng định nào sau đây là sai?
Đáp án: C.
Lời giải: Vì ΔSBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SH (với H trung điểm BC) là đường cao hạ từ S xuống BC và do tính vuông góc tổng quát ta có SH ⟂ AB, và (SAB) ⟂ (SAC). Tuy nhiên HI ⟂ AB là phát biểu sai (HI nằm hoàn toàn trong mặt đáy và không nhất thiết vuông góc với AB). Vì vậy C sai.
Lời giải: Vì ΔSBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SH (với H trung điểm BC) là đường cao hạ từ S xuống BC và do tính vuông góc tổng quát ta có SH ⟂ AB, và (SAB) ⟂ (SAC). Tuy nhiên HI ⟂ AB là phát biểu sai (HI nằm hoàn toàn trong mặt đáy và không nhất thiết vuông góc với AB). Vì vậy C sai.
Câu 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ⟂ (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC và I là giao điểm của HK với mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây là sai?
Đáp án: D.
Lời giải: H, K là hình chiếu của A lên SB, SC nên AH ⟂ SB, AK ⟂ SC. Từ đó có BC ⟂ AH đúng khi tam giác ABC vuông tại B và các hình chiếu tương ứng cho các quan hệ vuông góc; (AHK) ⟂ (SBC) đúng do AH, AK đều vuông góc với các cạnh tương ứng trong mặt (SBC); SC ⟂ AI do cấu hình giao tuyến. Tuy nhiên ΔIAC đều là phát biểu quá mạnh và không thể suy ra từ dữ kiện trên nên D sai.
Lời giải: H, K là hình chiếu của A lên SB, SC nên AH ⟂ SB, AK ⟂ SC. Từ đó có BC ⟂ AH đúng khi tam giác ABC vuông tại B và các hình chiếu tương ứng cho các quan hệ vuông góc; (AHK) ⟂ (SBC) đúng do AH, AK đều vuông góc với các cạnh tương ứng trong mặt (SBC); SC ⟂ AI do cấu hình giao tuyến. Tuy nhiên ΔIAC đều là phát biểu quá mạnh và không thể suy ra từ dữ kiện trên nên D sai.
Câu 19. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a, góc giữa (ABC') và (ABCD) bằng 60°. Độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho bằng:
Đáp án: C.
Lời giải: Góc giữa mặt (ABC') và đáy bằng 60°; khi xét đường thẳng trong mặt bên vuông góc với đáy, cos góc = \(\dfrac{\text{cạnh bên}}{\text{đường chéo thích hợp}}\). Trong cấu hình lăng trụ tứ giác đều suy ra cạnh bên bằng \(a\sqrt3\).
Lời giải: Góc giữa mặt (ABC') và đáy bằng 60°; khi xét đường thẳng trong mặt bên vuông góc với đáy, cos góc = \(\dfrac{\text{cạnh bên}}{\text{đường chéo thích hợp}}\). Trong cấu hình lăng trụ tứ giác đều suy ra cạnh bên bằng \(a\sqrt3\).
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA ⟂ (ABCD), SA = a√2. Biết AB = 2AD = 2DC = 2a. Góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng:
Đáp án: B.
Lời giải: Với SA = a\sqrt2 và các tỉ lệ cạnh đáy cho trước, chân hình chiếu và tam giác dựng tương ứng cho góc giữa mặt (SBC) và đáy bằng 45° qua quan hệ đối xứng và tỉ lệ cạnh.
Lời giải: Với SA = a\sqrt2 và các tỉ lệ cạnh đáy cho trước, chân hình chiếu và tam giác dựng tương ứng cho góc giữa mặt (SBC) và đáy bằng 45° qua quan hệ đối xứng và tỉ lệ cạnh.
